$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に，自然数が$1$つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ，合計$2$枚のカードを取り出す試行を行う．自然数$n$に対し，取り出された$2$枚のカードに記された自然数の和が$n$である確率を$P_n$とする．
(1) 箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{\fbox{ハ}}{\fbox{ヒ}}$である．
(2) 箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて， \[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \] が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$\fbox{フ}$という数字が記されたカードであり，その枚数は$\fbox{ヘ}$枚である．