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（3ページ目：全1740問中21問～30問を表示）
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．
\[ f(x)=\int_0^x |t-2| \, dt \]
とする．ただし$x \geqq 0$とする．
関数$y=f(x)$のグラフと$x$軸，$x=1$，$x=4$で囲まれる部分の面積は$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第5問$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(p,\ q,\ r)$を通る直線を$\ell$とする．ただし$p^2+q^2+r^2=1$とする．直線$\ell$に$4$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．
\[ \mathrm{A}(1,\ 1,\ -1),\quad \mathrm{B}(1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}(-1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{D}(-1,\ -1,\ -1) \]
から，それぞれ垂線$\mathrm{AA}^\prime$，$\mathrm{BB}^\prime$，$\mathrm{CC}^\prime$，$\mathrm{DD}^\prime$を下ろすとき
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2=(p+[ヌ]q+[ネ]r)^2 \]
であり
\[ (\mathrm{OA}^\prime)^2+(\mathrm{OB}^\prime)^2+(\mathrm{OC}^\prime)^2+(\mathrm{OD}^\prime)^2=[ノ] \]
である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{p},\ \overrightarrow{q}$を
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
\[ \overrightarrow{p}=(\sin A,\ \sin B),\quad \overrightarrow{q}=(\cos B,\ \cos A) \]
とするとき
\[ \overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q}=\sin 2C \]
が成り立つ．以下の問に答えよ．
(1)角$C$の大きさは$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(2)$\sin A,\ \sin C,\ \sin B$はこの順で等差数列をなし，かつ，
\[ \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}})=32 \]
であるとき，辺$\mathrm{AB}$の長さは$[カ]$である．
私立 早稲田大学 2016年 第4問$xy$平面上の原点を中心とする単位円を底面とし，点$\mathrm{P}(t,\ 0,\ 1)$を頂点とする円錐を$\mathrm{K}$とする．$t$が$-1 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，円錐$\mathrm{K}$の表面および内部が通過する部分の体積は$\displaystyle \frac{\pi+[ナ]}{[ニ]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第5問複素数$z_1,\ z_2,\ z_3$を表す複素数平面上の点を，それぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=1:\sqrt{3}:2$の三角形を作るとき
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．
\[ \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=[ヌ] \pm \sqrt{[ネ]}i \]
である．
私立 久留米大学 2016年 第1問座標平面上の$2$直線$mx-y+1=0$，$x+my-m-2=0$の交点を$\mathrm{P}$とする．ここで，$m$は実数とする．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
(1)$m$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$が描く軌跡の方程式は$[$1$]$である．ただし，点$(0,\ 1)$を含まない．
(2)$m$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \leqq m \leqq 1$のとき，点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さは$[$2$]$である．
私立 久留米大学 2016年 第2問正八面体について考える．$(1)$～$(4)$において，回転すると重なる並び方は同じとする．
(1)頂点の数は$[$3$]$個ある．
(2)頂点に$1,\ 2,\ \cdots$と順に番号を付けていくとき，番号の付け方は$[$4$]$通りある．
(3)$2$つの面を赤に，残りの$6$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$5$]$通りある．
(4)$3$つの面を赤に，残りの$5$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$6$]$通りある．
(1)頂点の数は$[$3$]$個ある．
(2)頂点に$1,\ 2,\ \cdots$と順に番号を付けていくとき，番号の付け方は$[$4$]$通りある．
(3)$2$つの面を赤に，残りの$6$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$5$]$通りある．
(4)$3$つの面を赤に，残りの$5$つの面を白に塗るとき，塗り方は$[$6$]$通りある．
私立 久留米大学 2016年 第3問次の計算をしなさい．対数は自然対数とする．
\[ \int_0^3 \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx=[$7$],\qquad \int_1^{\sqrt{3}} 2x \log (1+x^2) \, dx=[$8$] \]
\[ \int_0^3 \frac{x^2}{\sqrt{1+x}} \, dx=[$7$],\qquad \int_1^{\sqrt{3}} 2x \log (1+x^2) \, dx=[$8$] \]
私立 星薬科大学 2016年 第2問次の問に答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$1$桁の数として，$3$桁の数を$abc$と表記するとき，$7$進法で表すと$3$桁の数$abc_{(7)}$になり，$5$進法で表すと$3$桁の数$bca_{(5)}$になる数を$10$進法で表すと$[$18$][$19$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{123}{343}$を$7$進法の小数で表すと$[$20$]. [$21$][$22$][$23$]_{(7)}$である．
(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$1$桁の数として，$3$桁の数を$abc$と表記するとき，$7$進法で表すと$3$桁の数$abc_{(7)}$になり，$5$進法で表すと$3$桁の数$bca_{(5)}$になる数を$10$進法で表すと$[$18$][$19$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{123}{343}$を$7$進法の小数で表すと$[$20$]. [$21$][$22$][$23$]_{(7)}$である．