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私立 聖マリアンナ医科大学 2016年 第3問$a$を正の定数，$e$を自然対数の底として，$\displaystyle f(x)=\int_0^a |xe^x-te^t| \, dt (0 \leqq x \leqq a)$とする．以下の$[ ]$にあてはまる適切な数，または式を記入しなさい．また，$(2)$に答えなさい．
(1)$f(0)=[ ]$であり，$f(a)=[ ]$である．
(2)$f(x)$を$a$と$x$を用いた式で表せ（途中の計算式も合わせて記載せよ）．
(3)$f^\prime(x)=0$のとき，$x=[ ]$である．
(4)$f(x)$の最小値は$[ ]$，最大値は$[ ]$である．
(1)$f(0)=[ ]$であり，$f(a)=[ ]$である．
(2)$f(x)$を$a$と$x$を用いた式で表せ（途中の計算式も合わせて記載せよ）．
(3)$f^\prime(x)=0$のとき，$x=[ ]$である．
(4)$f(x)$の最小値は$[ ]$，最大値は$[ ]$である．
私立 東洋大学 2016年 第2問厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のアクリル板で半球形の容器を作るとき，アクリル板の強度を考慮すると，最大で$50 \, l$の容積をもつ容器を作ることができるものとする．このアクリル板の厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに，作れる容器の最大の容積は$1.3$倍になる．一方，このアクリル板は，厚さ$1 \, \mathrm{cm}$のときに光の透過率が$90 \, \%$で，厚さを$1 \, \mathrm{cm}$増やすごとに透過率は$0.9$倍になる．次の各問に答えよ．ただし，アクリル板は$1 \, \mathrm{cm}$単位の加工しかできないこととし，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$を用いてもよい．
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，その透過率は$[アイ] \, \%$になる．
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる．
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら，容積の最も大きな容器を作りたい．このとき，アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく，その容器の容積は，小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である．
(1)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，その透過率は$[アイ] \, \%$になる．
(2)アクリル板の厚さを$2 \, \mathrm{cm}$としたとき，容器の容積は最大で$[ウエ] \, l$になる．
(3)アクリル板の透過率を$50 \, \%$以上としながら，容積の最も大きな容器を作りたい．このとき，アクリル板の厚さを$[オ] \, \mathrm{cm}$とすればよく，その容器の容積は，小数第$1$位を切り捨てて$[カキク] \, l$である．
私立 東洋大学 2016年 第4問$xy$平面において，点$\mathrm{P}$が単位円周上の$y \geqq 0$の部分を動くとき，点$\mathrm{P}$から単位円周上の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$までの距離の和$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}+\mathrm{PC}$を$L$とする．以下，$L$の最大値を求める．点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta,\ \sin \theta)$とおき，$L$を$\theta$の式で表すと，
$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-[ア])^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+[イ])^2+\sin^2 \theta}$
$\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{[ウ]} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \right)^2}$
と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき，
\[ L=\left( [カ]+\sqrt{[キ]} \right) \sin \frac{\theta}{[ク]}+\cos \frac{\theta}{[ケ]} \]
となり，適当な実数$\alpha$を用いて
\[ L=\sqrt{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}} \sin \left( \frac{\theta}{[ス]}+\alpha \right) \]
と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{[セ]}+\sqrt{[ソ]}$である．ただし，$[セ]>[ソ]$とする．
$\displaystyle L=\sqrt{(\cos \theta-[ア])^2+\sin^2 \theta}+\sqrt{(\cos \theta+[イ])^2+\sin^2 \theta}$
$\displaystyle +\sqrt{\left( \cos \theta-\frac{1}{[ウ]} \right)^2+\left( \sin \theta-\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \right)^2}$
と表される．整理すると，たとえば，点$\mathrm{P}$が第$2$象限にあるとき，
\[ L=\left( [カ]+\sqrt{[キ]} \right) \sin \frac{\theta}{[ク]}+\cos \frac{\theta}{[ケ]} \]
となり，適当な実数$\alpha$を用いて
\[ L=\sqrt{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}} \sin \left( \frac{\theta}{[ス]}+\alpha \right) \]
と表すことができる．よって，$L$の最大値は，$\sqrt{[セ]}+\sqrt{[ソ]}$である．ただし，$[セ]>[ソ]$とする．
私立 大阪工業大学 2016年 第1問次の空所を埋めよ．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
(1)$2$次方程式$2x^2-5x+1=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta=[ア]$であり，$2(\alpha-2)(\beta-2)=[イ]$である．
(2)$2^6=13 \times [ウ]-1$であり，$2^{100}$を$13$で割ると$[エ]$余る．ただし，$0 \leqq [エ]<13$とする．
(3)$1$辺の長さが$2$の正三角形$\mathrm{OAB}$がある．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=[オ]$である．また，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$が$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{5}{2}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$[カ]:1$に内分する．
(4)大小$2$つのさいころを同時に投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とする．このとき，積$ab$が偶数になる目の出方は$[キ]$通りあり，$a+3b$が$5$の倍数になる目の出方は$[ク]$通りある．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第3問次の空所を埋めよ．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．
(1)$\log_{10}2=A$，$\log_{10}3=B$とするとき，$\log_{10}6$，$\log_{10}5$の値をそれぞれ$A,\ B$を用いて表すと，$\log_{10}6=[ア]$，$\log_{10}5=[イ]$である．
また，$\log_{10}{(0.6)}^{50}=50(\log_{10}6-[ウ])$であるから，${0.6}^{50}$は小数第$[エ]$位にはじめて$0$でない数字が現れる．ただし，$\log_{10}6=0.7782$を用いてもよい．
(2)$m,\ n$を正の整数として，分数$\displaystyle \frac{n}{m}$がこれ以上約分できないとき，すなわち，$m,\ n$が互いに素であるとき，$\displaystyle \frac{n}{m}$を既約分数とよぶ．$10$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものは$[オ]$個あり，それらの総和は$[カ]$である．
また，$62$を分母とする既約分数で，値が$0$より大きく，$1$より小さいものの総和は$[キ]$である．
私立 福岡大学 2016年 第5問平均値と中央値は共に代表値であり，求め方は全く異なるが比較的近い値であることが多い．いま，偶数個の身長のデータがあり，その最小値は$m=140 \, \mathrm{cm}$，最大値は$M=180 \, \mathrm{cm}$である．このデータの中央値が$A=150 \, \mathrm{cm}$のとき，半数のデータは$m$以上$A$以下の値であり，残る半数のデータは$A$以上$M$以下である．このことから平均値$\overline{x}$のとる値の範囲は$[ ]$である．また，平均値と中央値の関係を用いると，最小値が$m=140 \, \mathrm{cm}$，最大値が$M=180 \, \mathrm{cm}$である偶数個のデータの平均値が$\overline{x}=170 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値$A$の取る値の範囲は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2016年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
(1)$4$次方程式$x^4-x^3+ax^2+bx+2=0$が$1$と$-2$を解にもつとき，係数$a,\ b$の値を求めると$(a,\ b)=[ ]$である．また，この方程式の他の解を求めると，$[ ]$である．
(2)袋の中に$1$から$13$までの数が$1$つずつ書かれた$13$個の玉が入っている．この袋の中から，$2$個の玉を同時にとり出す．このとき，とり出した玉に書かれた$2$つの数の和が偶数になる確率は$[ ]$である．また，とり出した玉に書かれた数がどちらも$10$以下であったとき，数の和が偶数である条件付き確率は$[ ]$である．
(3)$3$点$\mathrm{A}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ -1)$，$\mathrm{C}(4,\ -5,\ 1)$がある．$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めると$\cos \theta=[ ]$である．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[ ]$である．
私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
私立 広島経済大学 2016年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$a,\ b$を自然数とする．$a$を$9$で割ると$1$余り，$b$を$9$で割ると$5$余る．
(i) $a+b$を$9$で割ったときの余りは$[$1$]$である．
(ii) $ab$を$9$で割ったときの余りは$[$2$]$である．
(iii) $a^2+b^2$を$9$で割ったときの余りは$[$3$]$である．
(2)$2$つの整数$1364$と$279$の最大公約数は$[$4$]$である．
(3)$|x+2|+|x-5|=9$の解は$x=-[$5$]$または$x=[$6$]$である．
(4)分数$\displaystyle \frac{35}{37}$を小数で表したとき，小数第$50$位の数字は$[$7$]$である．
(1)$a,\ b$を自然数とする．$a$を$9$で割ると$1$余り，$b$を$9$で割ると$5$余る．
(i) $a+b$を$9$で割ったときの余りは$[$1$]$である．
(ii) $ab$を$9$で割ったときの余りは$[$2$]$である．
(iii) $a^2+b^2$を$9$で割ったときの余りは$[$3$]$である．
(2)$2$つの整数$1364$と$279$の最大公約数は$[$4$]$である．
(3)$|x+2|+|x-5|=9$の解は$x=-[$5$]$または$x=[$6$]$である．
(4)分数$\displaystyle \frac{35}{37}$を小数で表したとき，小数第$50$位の数字は$[$7$]$である．