条件$\displaystyle a_1=\frac{2}{5}$，$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=\frac{2n+7}{6} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$がある．このとき，$\displaystyle a_n=\frac{[ア]}{n^2+[イ]n+[ウ]}$であり，$\displaystyle \sum_{n=1}^{16} a_n=\frac{[エ][オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

座標空間に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ t)$，$\mathrm{D}(8,\ 4,\ 1)$，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$がある．ただし，$t$は正の実数とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．この平面$\mathrm{ABC}$と直線$\mathrm{OD}$が直交するとき，$t=[ア]$であり，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[イ]}{[ウ][エ]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．

次の$2$つの定積分を求めると，
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3 \sin 3x \, dx=[ア],\quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} tx^2 \sin x \, dx=\left( \pi-[イ] \right)t \]
であり，定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left\{ 3 \sin 3x-tx^2 \sin x+(t-1)^2 \right\} \, dx$の最小値は
\[ -\frac{[ウ]}{[エ]} \pi-\frac{[オ]}{\pi}+[カ] \]
である．ただし，$t$は実数とする．

次の$[　]$にあてはまる答えを記せ．

(1)$a$と$\theta$を実数とし，$2$次方程式$x^2-\sqrt{7}ax+3a^3=0$の$2$つの解を$\sin \theta$，$\cos \theta$とする．このとき，$a$の値は$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．さらに，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$であれば，$\sin \theta=[ウ]$である．
(2)$x,\ y,\ z$を$0$以上の整数とする．このとき

(i) $x+y+z=9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[エ]$である．
(ii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組の総数は$[オ]$である．
(iii) $x+y+z \leqq 9$を満たす$x,\ y,\ z$の組のうち，$x,\ y,\ z$がすべて相異なるものの総数は$[カ]$である．

(3)$a$を$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数とする．直線$y=1-x$と$x$軸，$y$軸で囲まれた図形を直線$y=a$の周りに$1$回転してできる回転体の体積を$V(a)$とする．このとき$V(a)$は，$\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}$ならば$[キ]$，$\displaystyle \frac{1}{2} \leqq a \leqq 1$ならば$[ク]$と$a$を用いて表される．また，$V(a)$のとり得る値の範囲は$[ケ]$である．
(4)$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{N}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．
このとき，$\cos \angle \mathrm{MCN}$の値は$[コ]$である．また，頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{MNC}$に下ろした垂線と平面$\mathrm{MNC}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=[サ] \overrightarrow{a}+[シ] \overrightarrow{b}-[ス] \overrightarrow{c}$である．さらに，直線$\mathrm{OH}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{HF}}$の値は$[セ]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を記入せよ．

(1)$3$次方程式$x^3-6x^2+9x+2-a=0$が異なる$2$つの実数解をもつときの$a$の値は，$[ア]$または$[イ]$である．ただし，$[ア]<[イ]$とする．
(2)（指定範囲外からの出題だったため，全員正解とした．）
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \cos A=-\frac{1}{2},\ \cos B=\frac{11}{14},\ \cos C=\frac{13}{14},\ \mathrm{AB}=3$であるとき，$\mathrm{BC}=[ア]$である．
(4)方程式$a+b+c+5d=17$を満たす$a,\ b,\ c,\ d$の$0$以上の整数解の組の総数は$[ア][イ][ウ]$個である．
(5)$\displaystyle \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$の値は$\displaystyle \frac{[ア][イ][ウ]}{[エ][オ][カ]}$である．

四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[ア]}{[イ]}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(2)線分$\mathrm{AR}$を延長し，三角形$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\mathrm{AR}:\mathrm{AS}=1:t$とすると，$\displaystyle t=\frac{[ウ]}{[エ]}$である．また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{[オ]}{[カ]}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$である．
(3)$\angle \mathrm{OAS}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)$1$から$210$までの自然数で，$3$の倍数でも$5$の倍数でもない自然数の個数は，$[ア]$個ある．
(2)$a>0$で，$\displaystyle a^2+\frac{1}{a^2}=3$であるとき，$\displaystyle a^3+\frac{1}{a^3}=[イ]$である．
(3)赤球$6$個，白球$3$個，青球$2$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出す．取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は，$[ウ]$である．
(4)$\displaystyle \tan \frac{5}{4} \pi$の値は$[エ]$で，$\displaystyle \tan \frac{5}{8} \pi$の値は$[オ]$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．

次の空欄$[オ]$に当てはまるものを解答群の中から選べ．それ以外の空欄には，当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．

(1)$x \neq 7$とする．このとき，不等式
\[ -x^2-x+20>\frac{140}{7-x} \]
を満たす$x$の値の範囲は，
\[ -[ア]<x<[イ],\quad [ウ]<x<[エ] \]
である．
(2)$q$を正の実数とするとき，
\[ \lim_{s \to 1} \frac{q^s-q}{s-1}=[オ] \]
である．
$a,\ b,\ c$を実数とする．$x>0$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \left\{ n(x^{1+\frac{1}{n}}-x)-\frac{ax-2b+x^{n+1}-cx^n}{4+x^n} \right\} \]
と定義する．$f(x)$が$x=1$で連続であるとき，
\[ a-[カ]b+[キ]c=[ク] \]
となる．
オの解答群（ただし，$\log$は自然対数，$e$はその底とする）

\begin{tabular}{llllllllll}
$\nagamarurei 0$ & & $\nagamaruichi 1$ & & $\nagamaruni q$ & & $\nagamarusan q^{-1}$ & & $\nagamarushi e^q$ \\
$\nagamarugo e^{-q}$ & & $\nagamaruroku \log q$ & & $\nagamarushichi -\log q$ & & $\nagamaruhachi q \log q$ & & $\nagamarukyu -q \log q$
\end{tabular}

放物線$C:y=-x^2+ax$（$a$は正の定数）と直線$\ell:y=mx+n$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わっている．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とすると，$0<\alpha<\beta<2a$を満たしている．$x=0$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_1$，$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_2$，$x=2a$，$C$，$\ell$で囲まれた図形の面積を$T_3$とする．このとき，
\[ T_2=T_1+T_3 \]
が満たされるとする．以下の各設問に答えよ．

(1)$T_2=T_1+T_3$から，$a,\ m,\ n$の間に関係式
\[ [　]=0 \]
が成り立つ（もっとも簡潔な式で書くこと）．
(2)$T_2=T_1+T_3$を満たす直線$\ell$は$m,\ n$によらず定点$[　]$を通る．この定点を$a$を用いて表せ．
(3)$T_2$の値が最小となるのは直線$\ell$が$y=[　]$のときであり，そのとき$T_2$の値は$[　]$である．
(4)$(3)$のとき$\alpha,\ \beta$の値は
\[ \alpha=[　]a,\quad \beta=[　]a \]
である．