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私立 北里大学 2016年 第2問次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．
$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．
(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．
$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．
(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．
私立 同志社大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ．
(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．
(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．
私立 中京大学 2016年 第1問$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{H}$を$\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$となるようにとる．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ア]+\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$であり，$\displaystyle \mathrm{HC}=\frac{\sqrt{[エ]}-\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
私立 明治大学 2016年 第2問同一平面上において，点$\mathrm{O}$を中心とする半径$10$の円周上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．線分$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{CO}$は交点を持ち，この交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{CP}=14$であり，$\mathrm{AP}:\mathrm{BP}=2:3$である．以下の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である．
また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から，内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる．
さらに，$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$，$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{CA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{b}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\frac{[チ] \overrightarrow{a}+[ツ] \overrightarrow{b}}{[テ]}$である．
また，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{[ト] \overrightarrow{a}-[ナ] \overrightarrow{b}}{[ニ]}$と表すことができる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$についての計算から，内積$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{[ヌ][ネ][ノ]}{[ハ]}$となる．
さらに，$\mathrm{CA}=[ヒ] \sqrt{[フ][ヘ]}$，$\mathrm{CB}=[ホ] \sqrt{[マ]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ミ][ム][メ] \sqrt{[モ]}}{[ヤ]}$である．
私立 明治大学 2016年 第5問次の設問の$[ ]$に適当な数を入れなさい．
正四面体$\mathrm{ABCD}$があり，その頂点間を点$\mathrm{P}$が動く場合について考える．点$\mathrm{P}$がある頂点にいるとき，$1$秒後に同じ頂点にいる確率を$\displaystyle \frac{2}{3}$，ほかの$3$つの頂点にいる確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{9}$とする．
(1)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$2$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$であり，頂点$\mathrm{B}$にいる確率は$[ ]$である．
(2)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$3$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$4$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$である．
正四面体$\mathrm{ABCD}$があり，その頂点間を点$\mathrm{P}$が動く場合について考える．点$\mathrm{P}$がある頂点にいるとき，$1$秒後に同じ頂点にいる確率を$\displaystyle \frac{2}{3}$，ほかの$3$つの頂点にいる確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{9}$とする．
(1)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$2$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$であり，頂点$\mathrm{B}$にいる確率は$[ ]$である．
(2)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$3$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$である．
(3)頂点$\mathrm{A}$にいる点$\mathrm{P}$が$4$秒後に頂点$\mathrm{A}$にいる確率は$[ ]$である．
私立 明治大学 2016年 第2問次の$[ ]$に適する数を入れよ．
(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$，$([オ],\ [カ])$（ただし，$[ウ]<[オ]$）で交わり，両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，あるゲームで対戦している．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で，$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．引き分けは，ないものとする．
(i) $5$回目の対戦が終わったところで，$\mathrm{A}$が$3$勝，$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．
(1)${48}^{30}$は$[ア][イ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$として計算せよ．
(2)放物線$y=x^2-7x+6$と直線$y=x-1$は$2$点$([ウ],\ [エ])$，$([オ],\ [カ])$（ただし，$[ウ]<[オ]$）で交わり，両者によって囲まれる部分の面積は$[キ][ク]$である．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，あるゲームで対戦している．$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の強さは互角で，$1$回の対戦で勝つ確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．引き分けは，ないものとする．
(i) $5$回目の対戦が終わったところで，$\mathrm{A}$が$3$勝，$\mathrm{B}$が$2$勝している確率は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ][サ]}$である．
(ii) $\mathrm{B}$が先に$3$勝する前に$\mathrm{A}$が先に$2$勝する確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．
私立 明治大学 2016年 第3問$1$辺の長さが$2$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．線分$\mathrm{AB}$を$p:(1-p) (0<p<1)$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{OC}$を$q:(1-q) (0<q<1)$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ p,\ q$を用いて表し，次の空欄$[タ]$～$[ツ]$に$p,\ q$を用いた値や式を記せ．
\[ \overrightarrow{\mathrm{DE}}=\left( [タ] \right) \overrightarrow{a}+\left( [チ] \right) \overrightarrow{b}+\left( [ツ] \right) \overrightarrow{c} \quad \cdots\cdots ① \]
(2)${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$を求める過程を記した次の文章の空欄$[テ]$～$[ト]$に適切な値や式を記せ．
$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$は，いずれも$1$辺の長さが$2$の正三角形だから，
\[ |\overrightarrow{a|}=|\overrightarrow{b|}=|\overrightarrow{c|}=2 \quad \cdots\cdots ② \]
かつ，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=[テ] \quad \cdots\cdots ③ \]
$①,\ ②,\ ③$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2$は$p,\ q$を用いて次のように表せる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left( [ト] \right) \quad \cdots\cdots ④ \]
(3)点$\mathrm{D}$，点$\mathrm{E}$がそれぞれ$\mathrm{AB}$，$\mathrm{OC}$上を動くとき，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$の最小値を求める過程を記した次の文章の空欄$[ナ]$～$[ネ]$に適切な値や式を記せ．
$④$は次のように変形できる．
\[ {|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}^2=4 \left\{ \left( p-[ナ] \right)^2+\left( q-[ニ] \right)^2+[ヌ] \right\} \quad \cdots\cdots ⑤ \]
$⑤$より，${|\overrightarrow{\mathrm{DE|}}}$は$p=[ナ]$，$q=[ニ]$のとき最小値$[ネ]$をとる．
私立 中京大学 2016年 第3問$|\overrightarrow{a|}=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{b|}=1$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{2}$のとき，$|\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=[ア]$であり，$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]}$である．ただし，$t$は実数とする．
私立 中京大学 2016年 第4問大小$2$個のさいころを投げる試行において，大のさいころの出た目を$x$，小のさいころの出た目を$y$とする．$y \geqq x+3$のとき$1$点，$(x-2)^2+(y-2)^2 \leqq 2$のとき$2$点の得点が入り，それ以外のとき得点が入らないものとする．
$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．
$1$回の試行で得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
$3$回の試行で合計$4$点以上の得点が入る確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ]}$である．