原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$と点$(6,\ 0)$からの距離の和が$10$である楕円を考える．

(1)この楕円の方程式は$\displaystyle \frac{(x-[ア])^2}{[イウ]}+\frac{y^2}{[エオ]}=1$である．

(2)この楕円と$x$軸，$y$軸との$4$個の交点を頂点とする四角形の面積は$[カキ]$である．

$a,\ b,\ c$を定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax+b}{x^2+c}$は$x=2$，$x=4$で極値をとり，$f(0)=3$を満たす．

(1)$a=[ク]$，$b=[ケコサ]$，$c=[シス]$である．
(2)関数$f(x)$は$x=[セ]$で極大値$[ソ]$をとり，$x=[タ]$で極小値$[チ]$をとる．

$a,\ b,\ c,\ d$を定数とし，$ab \neq 0$とする．関数$f(x)=ae^{bx}+cx+d$は等式
\[ f(x)+2 \int_0^x f(t) \, dt=4x^2+8x+10 \]
を満たしている．

(1)$a=[ア]$，$b=[イウ]$，$c=[エ]$，$d=[オ]$である．
(2)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=[カ]-[キ]e^{[クケ]}$である．

図において，$\triangle \mathrm{ABC}$は半径$1$の円$\mathrm{O}$に内接している．直線$\mathrm{PA}$，$\mathrm{PB}$は円$\mathrm{O}$の接線で，$\angle \mathrm{APB}=60^\circ$，$\angle \mathrm{ABC}=45^\circ$である．このとき，
（図は省略）

(1)$\angle \mathrm{BAP}=[ケコ]^\circ$である．
(2)$\angle \mathrm{BCA}=[サシ]^\circ$，$\angle \mathrm{AOB}=[スセソ]^\circ$である．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[タ]}}{[チ]}$である．

(4)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[ツ]+\sqrt{[テ]}}{[ト]}$である．

方程式$x^2-2x+8=0$の$2$つの虚数解を$\alpha,\ \beta$とし，$\alpha$の虚部は$\beta$の虚部より大きいとする．

(1)$\alpha=[ア]+\sqrt{[イ]}i$，$\beta=[ア]-\sqrt{[イ]}i$である．ただし，$i$は虚数単位を表す．
(2)$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha}=-\frac{[ウ]+\sqrt{[エ]}i}{[オ]}$である．
(3)$\displaystyle \frac{1}{\alpha+2}+\frac{1}{\beta+2}=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

関数$\displaystyle y=3 \log_8x+4 \log_4 4x-(\log_2x)^2 \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 32 \right)$について考える．$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[クケ] \leqq t \leqq [コ]$である．
(2)$y=-t^2+[サ]t+[シ]$である．
(3)$y$は$x=[ス] \sqrt{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]}$をとり，$x=[ツテ]$で最小値$[トナ]$をとる．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．

(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，

(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は

$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個

である．

$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]

(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．

(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．

(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．

(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．

$a,\ b$を定数とする．関数$f(x)=6x^2+2ax+b$は$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=4$，$f(2)=2$を満たす．このとき，

(1)$a=[コサ]$，$b=[シス]$である．
(2)$x$軸と関数$y=f(x)$のグラフで囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．