$x^3=1$の解のうち，虚数であるものの$1$つを$\omega$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{[ナ]}=-\frac{2}{3}$である．

(2)$\omega$に共役な複素数を$\overline{\omega}$とするとき，$(\overline{\omega}^4+3 \omega+1)(\omega^4+\overline{\omega}+3)=[ニ] \omega$である．
(3)$\omega+1$および$\overline{\omega}+1$を解とする$x$の$2$次方程式の$1$つは$x^2+[ヌネ]x+[ノ]=0$である．

青いボールが$2$個，黄色いボールが$2$個，赤いボールが$3$個ある．これら$7$個のボールから$4$個を取り出すとき，以下の問に答えよ．ただし，ボールは，色の違いの他には区別がないものとする．

(1)$4$個を取り出す組合せは全部で$[ハ]$通りである．
(2)取り出した$4$個のボールを$2$個ずつに分けるとき，分け方は全部で$[ヒフ]$通りである．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$という箱がある．取り出した$4$個のボールをこれらの箱に$2$個ずつ入れるとき，入れ方は全部で$[ヘホ]$通りである．

以下の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=2^2 \cdot 2^x+2^{-x}$の最小値は$[ハ]$である．
(2)関数$g(x)=16 \cdot 4^x+4^{-x}-40 \cdot 2^x-10 \cdot 2^{-x}+40$は，$x=[ヒフ]$または$[ヘ]$のとき最小値$[ホ]$をとる．ただし，$[ヒフ]<[ヘ]$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．

大きさの同じ$N$個の正方形を，図$1$のように左端からつめて高さを$3$段までに並べる．このとき，各段の正方形の数はその$1$つ下の段の正方形の数以下とする．例えば，$N=4$の場合，図$2$のように$4$通りの並べ方がある．

(1)上のような並べ方は，$N=5$のとき$[ノ]$通り，$N=6$のとき$[ハ]$通り，$N=7$のとき$[ヒ]$通りである．
(2)高さが$2$段までの並べ方は，

$N$が偶数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ] \right)$通り，

$N$が奇数のとき，$\displaystyle \left( \frac{[マ]}{[ミ]}N+\frac{[ム]}{[メ]} \right)$通りである．

(3)$N=6n$（$n$は自然数）のとき，高さが$3$段までの並べ方を考える．$3$段目の正方形が$m$個であるような並べ方が$a_m$通りあるとする．図$1$は$N=12$，$m=3$のときの並べ方の一例である．
$m$が偶数のとき，
\[ a_m=[モ]n+\frac{[ヤ]}{[ユ]}m+[ヨ] \]
$m$が奇数のとき，
\[ a_m=[ラ]n+\frac{[リ]}{[ル]}m+\frac{[レ]}{[ロ]} \]
である．したがって，$N=6n$のとき，高さが$3$段までの並べ方は全部で
\[ [ワ]n^2+[ヲ]n+[ン] \]
通りである．

（図は省略）

袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．

(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．

$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．

座標平面上の点$(x,\ y)$のうち，$x,\ y$がともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合$A$を次のように定義する．
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]

(1)$A$の点は全部で$[ム]$個ある．
(2)格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$[メ]$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．
(3)$(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．

(i) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}([モ],\ [ヤ])$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
(ii) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$[ラ]$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(iii) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]}$秒である．

$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．これらを$3$枚ずつ$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も大きい数が書かれたカードを取り出す．

(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．

(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．

(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．

(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．