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上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
次の各問に答えよ.

(1)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を重複なく使ってできる$5$桁の整数を小さい方から順に並べたとき,$70$番目の数を$100$で割った余りは$[ア]$である.
(2)$\displaystyle 16^{\log_2 3}=[イ]$である.
(3)$m^n=1024$を満たす自然数の組$(m,\ n)$は$[ウ]$通りある.その中で最小の$m$は$[エ]$,最小の$n$は$[オ]$である.
(4)$x$の式$(1+x+ax^2)^6$を展開したときの$x^4$の係数は,$a=[カ]$のときに最小値$[キ]$をとる.
明治大学 私立 明治大学 2012年 第2問
次の空欄$[ア]$から$[オ]$に当てはまるものをそれぞれ入れよ.ただし,$e$は自然対数の底である.必要ならば$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0.\ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}=0$を用いてもよい.

関数$\displaystyle f(x) = \frac{(x+1)^2}{e^x}$を考える.

(1)$f(x)$は$x=[ア]$において最小値[イ]をとる.
(2)$k$を定数とする.$x$についての方程式$f(x) = k$が二つの実数解をもつとき,$k=[ウ]$である.
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標は
$[エ]-\sqrt{[オ]}, \quad [エ]+\sqrt{[オ]}$
である.
明治大学 私立 明治大学 2012年 第3問
$xy$平面上に点$\mathrm{P}(1,\ 0)$を中心とする円:$(x-1)^2+y^2=1$がある.この円周上に$4$点$\displaystyle \mathrm{A}(\frac{9}{5},\ \frac{3}{5})$,$\displaystyle \mathrm{B}(\frac{1}{13},\ \frac{5}{13})$,$\mathrm{C}(\alpha,\ \beta)$,$\mathrm{D}(\gamma,\ \delta)$がある.ただし,$\displaystyle \delta<-\frac{4}{5}$とする.$\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$であり,三角形$\mathrm{ACD}$の面積は$\displaystyle \frac{63}{65}$であるとする.

(1)点$\mathrm{C}$の座標は,$\displaystyle\left( \frac{[ツ]}{[テ]},\ -\displaystyle\frac{[ト]}{[テ]} \right)$である.

(2)$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[ナニ] \sqrt{[ヌネ]}}{[ヌネ]}$であり,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BDC}=\frac{[ノ] \sqrt{[ハヒ]}}{[ハヒ]}$である.

(3)点$\mathrm{D}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[フヘ]}{[ホマ]},\ -\frac{[ミム]}{[メモ]} \right)$であり,$\displaystyle \cos \angle \mathrm{BPD}=-\frac{[ヤユヨ]}{169}$である.
東京慈恵会医科大学 私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.問い$(1)$~$(3)$については,$[ ]$にあてはまる適切な数値を記入せよ.

(1)$x$の$2$次不等式
\[ 6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0 \]
をみたす整数$x$が$10$個となるように,正の整数$a$の値を定めると$[ア]$である.
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=\sqrt{2}$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=\sqrt{3}$とし外心を$\mathrm{O}$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$をみたす実数$s,\ t$の値は$s=[イ],\ t=[ウ]$である.
(3)袋$\mathrm{A}$には赤玉$2$個と白玉$1$個,袋$\mathrm{B}$には赤玉$1$個と白玉$2$個が入っている.袋$\mathrm{A}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れ,よくかき混ぜて,袋$\mathrm{B}$から玉を$2$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れる.このとき,袋$\mathrm{A}$に入っている白玉の個数を$X$とすると,$X=0$となる確率は$[エ]$であり,$X=2$となる確率は$[オ]$である.
(4)関数$f(x)=|x^3|$が$x=0$で微分可能であるかどうか調べよ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2012年 第5問
集合$\{1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n\}$の部分集合の中で,連続する自然数を含まない部分集合の個数を$f(n)$とする.ただし空集合は連続する自然数を含まない部分集合とする.たとえば$n=4$のとき,$\{1,\ 3,\ 4\}$は連続する自然数を含む部分集合,$\{2\}$や$\{1,\ 3\}$は連続する自然数を含まない部分集合である.このとき$f(1)=[(101)]$,$f(2)=[(102)]$,$f(3)=[(103)]$となる.$n \geqq 3$のとき
\[ f(n)=f(n-1)+[(104)]f(n-[(105)]) \]
である.$f(10)=[(106)][(107)][(108)]$となる.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
次の空欄に適する数,数式を入れよ.

(1)$f(x)=|2 \sin x-\cos 2x+\displaystyle\frac{1|{2}}$とおく.$\sin x=[ア]$のとき$f(x)$は最大値$\displaystyle\frac{[イ]}{[ウ]}$をとる.また,$\sin x = \displaystyle\frac{[エ]+\sqrt{[オ]}}{[カ]}$のとき$f(x)$は最小値[キ]をとる.
(2)$x,\ y,\ z$は次の条件を満たす実数とする.
\[ 0 \leqq x \leqq y \leqq z \leqq \frac{4}{5}, \quad x+2y+z = 1 \]
このとき,$y$の最小値は$\displaystyle\frac{[ク]}{[ケ]}$,最大値は$\displaystyle\frac{[コ]}{[サ]}$である.
(3)不等式
\[ \log_2 x - 6\log_x 2 \geqq 1 \]
の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x < [セ], \quad x \geqq [ソ] \]
である.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第2問
$a,\ b$を実数とし,$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする.
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと
\[ a^2+[タ]a+[チ]b \leqq 0 \]
となる.特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq [ツ]$であり,$b=[ツ]$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( [テ],\ [ト] \right)$をもつ.
(2)$b=6$とし,$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると,
\[ [ナ] \leqq a \leqq [ニ] \]
である.このとき,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると,$D$の面積$S$は
\[ S=\frac{1}{3} \left( [ヌ]a^2+[ネ]a+[ノ] \right)^{\frac{3}{2}} \]
と表される.$a=[ハ]$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$をとる.
(3)$a=[ハ]$,$b=6$とし,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする.点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき,$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$,最小値は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第2問
$a$を実数とする.座標平面において,放物線$C_a$
\[ C_a:y=-2x^2+4ax-2a^2+a+1 \]
および放物線$C$
\[ C:y=x^2-2x \]
を考える.

(1)$C_a$の頂点は常に直線$y=[ク]x+[ケ]$上にある.
(2)$C_a$と$C$が共有点をもつための必要十分条件は,
\[ \frac{[コ]}{[サ]} \leqq a \leqq [シ] \]
である.
(3)$\displaystyle a=\frac{[コ]}{[サ]}$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{P}([ス],\ [セ])$である.

(4)$a=[シ]$のとき,$C_a$と$C$の共有点は$\mathrm{Q}([ソ],\ [タ])$である.

(5)$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれる図形の面積は$\displaystyle \frac{[チ]}{[ツ]}$である.
(6)$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}<a<[シ]$の場合,$C_a$と$C$で囲まれる図形の面積は,$\displaystyle a=\frac{[テ]}{[ト]}$のとき最大値$\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \sqrt{[ヌ]}$をとる.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第2問
$a$を実数とし,放物線$C:y=x^2-2ax+4a$を考える.

(1)$C$が直線$y=-6x$と接するのは,$a=[タ]$または$a=[チ]$のときである.ただし,$[タ]<[チ]$とする.
(2)$a$がすべての実数を動くとき,$C$の頂点の軌跡の方程式は
\[ y=[ツ]x^2+[テ]x+[ト] \]
である.
(3)$C$が点$(x,\ y)$を通るような$a$が存在するための必要十分条件は
\[ \bigg(x \quad [あ] \quad [ナ] \bigg) \quad [い] \quad \bigg(y \quad [う] \quad [ニ] \bigg) \]
である.
(4)点$(3,\ -1)$を通る$C$の接線が存在するための必要十分条件は
\[ a \quad [え] \quad [ヌ] \]
である.
\begin{screen}
$[あ],\ [う],\ [え]$の選択肢: \\
$(a) < \qquad (b) \leqq \qquad (c) > \qquad (d) \geqq \qquad (e) = \qquad (f) \neq$ \\
$[い]$の選択肢: \\
$(a) $かつ \qquad $(b) $または
\end{screen}
上智大学 私立 上智大学 2012年 第1問
$x$の$3$次式$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$は,$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において
\[ f(\cos \theta) = \cos 3\theta - \sqrt{3} \cos 2\theta \]
を常に満たすとする.

(1)$a=[ア],\ b=[イ]\sqrt{[ウ]},\ c=[エ],\ d=\sqrt{[オ]}$である.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において,$\cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta$は
\[ \theta = \frac{[カ]}{[キ]}\pi \text{のとき最小値} \frac{[ク]}{[ケ]}\sqrt{[コ]} \text{をとり,} \]
\[ \theta = \frac{[サ]}{[シ]}\pi \text{のとき最大値} \sqrt{[ス]} \text{をとる.} \]
(3)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において,
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \geqq \alpha\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\alpha$の最大値は$\displaystyle\frac{[セ]}{[ソ]}$である.
(4)$0 \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{\pi}{2}$において,
\[ \cos 3\theta - \sqrt{3}\cos 2\theta \leqq \beta\cos \theta + \sqrt{3} \]
が常に成り立つような$\beta$の最小値は$[タ]+[チ]\sqrt{[ツ]}$である.
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