以下の問いの空欄$[ア]$～$[ケ]$に入れるのに適する数値，式を解答箇所に記せ．証明や説明は必要としない．

(1)$x$および$y$は実数とする．点$(x,\ y)$が$x^2+2y^2=2$を満たすとき，$\displaystyle \frac{1}{2}x+y^2$の最大値は$[ア]$，最小値は$[イ]$となる．
(2)半径$r$の円に内接する正$12$角形を考える．この正$12$角形の$1$辺の長さを$1$とすると，円の半径$r$の値は$[ウ]$，正$12$角形の面積は$[エ]$である．
(3)大きさの異なる$3$種類の無地のタイルがある．タイルは長方形で，縦と横の長さがそれぞれ$2 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$3 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$，$5 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$である．$15 \, \mathrm{cm} \times 9.5 \, \mathrm{cm}$の長方形の壁にタイルを隙間なく，はみ出ないように貼り付けるとき，$[オ]$通りの貼り付け方が存在する．必ずしも$3$種類すべてのタイルを使わなくてもよいものとする．また，タイルは切断できないものとする．
(4)$\displaystyle x=\frac{2}{\sqrt{5}+1},\ y=\frac{2}{\sqrt{5}-1}$のとき，$x^3+x^2y+xy^2+y^3$の値は$[カ]$，$x^6+y^6$の値は$[キ]$となる．
(5)赤玉が$3$個，白玉が$5$個入っている袋から同時に$4$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉がすべて白玉となる確率は$[ク]$である．少なくとも$2$個の赤玉が取り出される確率は$[ケ]$である．

$1$個のさいころを繰り返し投げて景品を当てるゲームを行う．景品は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$種類あり，次の規則にしたがって景品をもらえるとする．
\begin{itemize}
出た目の数が$6$のときは，景品$\mathrm{A}$をもらえる．
出た目の数が$4,\ 5$のときは，景品$\mathrm{B}$をもらえる．
出た目の数が$1,\ 2,\ 3$のときは，景品はもらえない．
景品$\mathrm{A}$と景品$\mathrm{B}$の$2$種類とももらうことができたらゲームは終了する．
\end{itemize}
ちょうど$n$回さいころを投げ終わったところでゲームが終了する確率を$p_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$p_2$の値を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$p_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$n$を$2$以上の整数とする．不等式
\[ p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1}) \]
を示せ．ただし，$p_1=0$とする．

次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．

それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．

(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．

$r>0$とする．座標平面上の原点以外の点に対し，$2$種類の移動$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を以下のように定める．

移動$\mathrm{A} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$\displaystyle \left( r \cos \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right),\ r \sin \left( \theta+\frac{\pi}{6} \right) \right)$に動く．

移動$\mathrm{B} \ \cdots \ (r \cos \theta,\ r \sin \theta)$にある点が$((r+1) \cos \theta,\ (r+1) \sin \theta)$に動く．

（図は省略）
動点$\mathrm{K}$は点$(1,\ 0)$を出発し，上記$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$いずれかの移動をくり返しながら座標平面上を動くとする．

(1)動点$\mathrm{K}$が$\mathrm{B}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{B}$の順に$4$回の移動を行ったとき，到達する点の座標は$([$49$] \sqrt{[$50$]},\ [$51$])$である．
(2)動点$\mathrm{K}$が$7$回の移動で点$(0,\ 5)$に到達する経路は$[$52$][$53$]$通りあり，そのうち点$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ \frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$を{\bf 通らない}ものは$[$54$][$55$]$通りある．

以下，$p$を$0 \leqq p \leqq 1$を満たす定数とする．動点$\mathrm{K}$は各回の移動において，確率$p$で移動$\mathrm{A}$を，確率$1-p$で移動$\mathrm{B}$を行うものとする．

(3)動点$\mathrm{K}$が$5$回の移動で到達する点の座標が$(0,\ 3)$である確率$P$を，$p$を用いた式で表しなさい．
(4)動点$\mathrm{K}$が$3$回の移動で到達する点の$y$座標を$a$とするとき，$a^2$の期待値$E$を$p$を用いた式で表しなさい．

$1$個のさいころを投げたとき，$3$以下の目が出れば赤い玉を$1$個，$4$あるいは$5$の目が出れば白い玉を$1$個，$6$の目が出れば黒い玉を$1$個得ることとする．さいころを$3$回投げて$3$個の玉を得る試行について，以下の設問に答えよ．$(1)$は解答のみでよく，$(2)$～$(5)$は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)赤い玉を$3$個得る確率を求めよ．
(2)赤い玉を$1$個，白い玉を$1$個，黒い玉を$1$個得る確率を求めよ．
(3)赤い玉を$2$個，白い玉を$1$個得る確率を求めよ．
(4)$2$種類の色の玉を得る確率を求めよ．
(5)得られる$3$個の玉の色の種類の数を$X$とするとき，$X$の期待値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$次方程式$x^2-3x+5=0$の$2$つの解$\alpha,\ \beta$に対し，$\alpha^n+\beta^n-3^n$はすべての正の整数$n$について$5$の整数倍になることを示せ．
(2)$6$個のさいころを同時に投げるとき，ちょうど$4$種類の目が出る確率を既約分数で表せ．

$5$種類の文字$\mathrm{N},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{W},\ \mathrm{X}$を重複を許して横一列に$6$個並べた順列を考える．原点から出発して座標平面上を動くことができる点$\mathrm{P}$がある．それぞれの順列に対し，順列の文字を左端から$1$つずつ見てゆき，次の規則に従って点$\mathrm{P}$を動かし点$\mathrm{P}$の最終的な位置を決める．$\mathrm{X}$以外の各文字に対して，点$\mathrm{P}$を次の方向に$1$だけ動かす．

$\mathrm{N}$は$y$軸の正の方向 \quad $\mathrm{E}$は$x$軸の正の方向 \quad $\mathrm{S}$は$y$軸の負の方向 \quad $\mathrm{W}$は$x$軸の負の方向

$\mathrm{X}$に対しては点$\mathrm{P}$は動かさない．例えば，順列$\mathrm{NESNXN}$に対する点$\mathrm{P}$の最終的な位置は$(1,\ 2)$となる．

(1)$x+y=6$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(2)$|x+y|=4$を満たす$(x,\ y)$が点$\mathrm{P}$の最終的な位置となる順列の総数を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$の最終的な位置が原点である順列の総数を求めよ．

$3$種類の文字$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$を，くり返しを許して$1$列に$6$個並べるとき，次のような並べ方はそれぞれ何通りあるか．

(1)$\mathrm{O}$が含まれないように並べる．
(2)$\mathrm{O}$が$2$個以上含まれるように並べる．
(3)$\mathrm{O}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{S}$がいずれも$2$個ずつ含まれるように並べる．
(4)どの連続する$3$文字も「$\mathrm{OUS}$」とならないように並べる．

次の$[　]$にあてはまるものを記入せよ．

(1)$6$種類の和菓子と$4$種類のケーキがある．これらの中から$1$種類を選ぶとき，その選び方は$[][]$通りである．また，和菓子とケーキをそれぞれ$1$種類ずつ選ぶとき，その選び方は$[][]$通りである．
(2)異なる$8$個の菓子を$4$個ずつ$2$組に分ける分け方は$[][]$通りであり，$2$個ずつ$4$組に分ける分け方は$[][][]$通りである．

次の$[　]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．

(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[　] \overrightarrow{a}-[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[　]$である．

(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[　]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[　]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[　]$，$y=[　]$において最大値$[　]$をとり，$x=[　]$，$y=[　]$において最小値$[　]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．

(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[　]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[　]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[　]$である．

(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[　]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[　]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[　]$である．