「種類」について
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国立 岩手大学 2015年 第2問$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．
(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．
(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．
国立 岩手大学 2015年 第2問$1$個のさいころを$4$回続けて投げ，出た目を$1$回目から順に$a,\ b,\ c,\ d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，さいころは$1$回投げると$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$の目がそれぞれ等しい確率で出るものとする．
(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．
(1)$a<b<c<d$となる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$3$種類以下となる確率を求めよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$のうち，異なるものが$2$種類となる確率を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第5問$m,\ n$を自然数とする．次の問いに答えよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
(1)$m \geqq 2$，$n \geqq 2$とする．異なる$m$種類の文字から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき，ちょうど$2$種類の文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(2)$n \geqq 3$とする．$3$種類の文字$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，$1$列に並べる．このとき$a,\ b,\ c$すべての文字を含む文字列は何通りあるか求めよ．
(3)$n \geqq 3$とする．$n$人を最大$3$組までグループ分けする．このときできたグループ数が$2$である確率$p_n$を求めよ．ただし，どのグループ分けも同様に確からしいとする．
たとえば，$n=3$のとき，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人をグループ分けする方法は
$\{(\mathrm{A},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\},\quad \{(\mathrm{A},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{B})\}$
$\{(\mathrm{B},\ \mathrm{C}),\ (\mathrm{A})\},\quad \{(\mathrm{A}),\ (\mathrm{B}),\ (\mathrm{C})\}$
の$5$通りであるので，$\displaystyle p_3=\frac{3}{5}$である．
(4)$(3)$の確率$p_n$が$\displaystyle \frac{1}{3}$以下となるような$n$の範囲を求めよ．
私立 東京都市大学 2015年 第3問$1$辺の長さが$1$である正$6$角形$\mathrm{ABCDEF}$がある．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$から選んだ$3$点を頂点とする$3$角形はいくつあるか．また，合同な$3$角形は同じと考えると何種類になるか．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACE}$と$\triangle \mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$から選んだ$3$点を頂点とする$3$角形はいくつあるか．また，合同な$3$角形は同じと考えると何種類になるか．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と$\triangle \mathrm{ACD}$の面積をそれぞれ求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ACE}$と$\triangle \mathrm{BDF}$の共通部分の面積を求めよ．
私立 日本女子大学 2015年 第3問赤玉$1$個，白玉$1$個，青玉$1$個が入った袋から玉を$1$個取り出し，色を調べてからもとにもどす試行を$\mathrm{S}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)試行$\mathrm{S}$を$3$回行った結果，取り出した玉の色が$2$種類である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{S}$を$5$回行った結果，$5$回目に取り出した玉の色がちょうど$3$種類目である確率を求めよ．
(3)試行$\mathrm{S}$を$6$回行った結果，取り出した玉の色が$3$種類である確率を求めよ．
(1)試行$\mathrm{S}$を$3$回行った結果，取り出した玉の色が$2$種類である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{S}$を$5$回行った結果，$5$回目に取り出した玉の色がちょうど$3$種類目である確率を求めよ．
(3)試行$\mathrm{S}$を$6$回行った結果，取り出した玉の色が$3$種類である確率を求めよ．
私立 上智大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
(1)不定方程式$41x+355y=1$について，$x$が$0<x<100$を満たす整数解は，$x=[ス]$，$y=[セ]$である．
(2)$25 \, \mathrm{g}$までの普通郵便と，簡易書留をそれぞれ何通かずつ出したところ，料金の合計はちょうど$5000$円となった．なお，$1$通あたりの郵便料金は，普通郵便が$82$円，簡易書留が$710$円である．このとき，普通郵便は$[ソ]$通，簡易書留は$[タ]$通である．
(3)$82$円および$205$円の$2$種類の切手を組み合わせて支払える$6100$円以上$6110$円未満の金額の一の位の数は，$[チ]$であり，そのような組合せは$[ツ]$通りある．
この組合せのうち，$2$種類の切手の合計枚数が最小になるのは$82$円切手が$[テ]$枚，$205$円切手が$[ト]$枚のときである．また，$2$種類の切手の枚数の差が最小になるのは$82$円切手が$[ナ]$枚，$205$円切手が$[ニ]$枚のときである．
私立 早稲田大学 2015年 第2問$3$種類の記号$a,\ b,\ c$から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．このような記号列のなかで，$a$がちょうど偶数個含まれるようなものの総数を$g(n)$とする．ただし，$0$個の場合も偶数個とみなす．たとえば，$g(1)=2$，$g(2)=5$である．
(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．
(1)自然数$n \geqq 1$に対して$g(n+1)=g(n)+3^n$が成り立つことを示せ．
(2)$g(n)$を求めよ．
(3)一般に，$a$を含む$m$種類の記号から重複を許して$n$個を選び，それらを一列に並べて得られる長さ$n$の記号列を考える．ただし，$m \geqq 2$とする．このような記号列のなかで，$a$がちょうど奇数個含まれるようなものの総数を$k_m(n)$とする．自然数$n \geqq 1$に対して，$k_m(n)$を求めよ．
私立 広島経済大学 2015年 第2問白玉が$2$個，赤玉が$4$個，青玉が$6$個の合計$12$個の入った袋から$3$個の玉を同時に取り出す．このとき，次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$3$個の玉すべてが同じ色になる確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(2)$3$個の玉が$3$種類の色からなる確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(3)赤玉が$2$個，青玉が$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(4)少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
(1)$3$個の玉すべてが同じ色になる確率は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(2)$3$個の玉が$3$種類の色からなる確率は$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(3)赤玉が$2$個，青玉が$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[$14$]}{[$15$]}$である．
(4)少なくとも$1$個は赤玉である確率は$\displaystyle \frac{[$16$]}{[$17$]}$である．
私立 東京都市大学 2015年 第1問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
(1)$\log_2 104+\log_2 (27+2+2)-\log_2(2015 \times 2 \div 10)$の値は$[ア]$である．
(2)実数$x,\ y$が等式$(2+xi)(5+i)=3y-8i$を満たすとき，$x=[イ]$，$y=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(3)整式$P(x)=x^4$を$x-2$で割ると商が$[エ]$，余りが$[オ]$となる．$P(x)$を$(x-2)^2$で割ると商が$[カ]$，余りが$[キ]$となる．
(4)$3$次方程式$\displaystyle \frac{2}{3}x^3-ax^2+a=0$が異なる$3$個の実数解をもつとき，実数の定数$a$の値の範囲は$[ク]$である．
(5)自然数$n$に対して$a_n=2^{-n}$，$\displaystyle b_n=\int_{a_{n+1}}^{a_n} x \, dx$，$\displaystyle c_n=\sum_{k=1}^n b_k$と定義する．$b_n$を$n$の式で表すと$b_n=[ケ]$となるので，数列$\{b_n\}$は初項$[コ]$，公比$[サ]$の等比数列といえる．また，$c_n$を$n$の式で表すと$c_n=[シ]$となるので，数列$\{c_n\}$の和$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n c_k$を$n$の式で表すと$\displaystyle S_n=[ス]$となる．
(6)$1$個のさいころを$4$回続けて投げるとする．$4$回とも同じ目が出る確率は$[セ]$であり，$1$から$4$までの目がそれぞれ$1$回ずつ出る確率は$[ソ]$である．また，出る目が$1$と$2$の$2$種類になる確率は$[タ]$であり，出る目が$1$から$6$までのいずれか$2$種類になる確率は$[チ]$である．
(7)$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(6,\ 3)$，$\mathrm{B}(2,\ 4)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とする．実数$s,\ t$が条件$\displaystyle 0 \leqq s+t \leqq \frac{1}{2}$，$s \geqq 0$，$t \geqq 0$を満たしながら動くとき，点$\mathrm{P}$の存在範囲が$\triangle \mathrm{OA}^\prime \mathrm{B}^\prime$の周および内部であるとすると，点$\mathrm{A}^\prime$の座標は$[ツ]$，点$\mathrm{B}^\prime$の座標は$[テ]$である．ただし，点$\mathrm{A}^\prime$は直線$\mathrm{OA}$上，点$\mathrm{B}^\prime$は直線$\mathrm{OB}$上にあるものとする．また，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 9,\ \frac{9}{2} \right)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OCD}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=s^\prime \overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^\prime \overrightarrow{\mathrm{OD}}$とする．点$\mathrm{Q}$の存在範囲が点$\mathrm{P}$の存在範囲と一致するとき，実数$s^\prime$と$t^\prime$の満たす条件は$[ト]$である．
(8)絶対値の記号を用いずに関数$f(x)=|3x^2-3x|-1$を表すと，$0 \leqq x \leqq 1$のとき$f(x)=[ナ]$となり，$x \leqq 0$，$1 \leqq x$のとき$f(x)=[ニ]$となる．したがって，定積分$\displaystyle \int_0^a f(x) \, dx$の値は，$0 \leqq a \leqq 1$のとき$[ヌ]$，$1 \leqq a$のとき$[ネ]$となる．
私立 広島国際学院大学 2015年 第5問ノーマルオレンジ（$1$杯$100$円）とスペシャルオレンジ（$1$杯$150$円）の$2$種類のドリンクを販売しようとしている．ノーマルオレンジには，オレンジ$100 \, \mathrm{g}$とヨーグルト$200 \, \mathrm{g}$が必要となる．スペシャルオレンジには，オレンジ$200 \, \mathrm{g}$とヨーグルト$100 \, \mathrm{g}$が必要となる．しかし，いま使えるオレンジが$6 \, \mathrm{kg}$，ヨーグルトが$9 \, \mathrm{kg}$しかない．
(1)ノーマルオレンジを$x$杯，スペシャルオレンジを$y$杯作るとき，使えるオレンジの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(2)$(1)$と同様に，使えるヨーグルトの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(3)売り上げを計算する式を$x$と$y$で表しなさい．
(4)売り上げが最大となるのは，ノーマルオレンジとスペシャルオレンジをそれぞれ何杯作ったときか求めなさい．そのときの売り上げも求めなさい．
(1)ノーマルオレンジを$x$杯，スペシャルオレンジを$y$杯作るとき，使えるオレンジの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(2)$(1)$と同様に，使えるヨーグルトの重量に関する条件を不等式で表しなさい．
(3)売り上げを計算する式を$x$と$y$で表しなさい．
(4)売り上げが最大となるのは，ノーマルオレンジとスペシャルオレンジをそれぞれ何杯作ったときか求めなさい．そのときの売り上げも求めなさい．