「確率密度関数」について
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国立 鹿児島大学 2016年 第6問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2013年 第8問確率変数$X$のとる値の範囲が$0 \leqq X \leqq 2$で，その確率密度関数$f(x)$が次の式で与えられるものとする．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{k}{a}x & (0 \leqq x \leqq a) \\
\displaystyle\frac{k}{2-a}(2-x) & (a<x \leqq 2)
\end{array} \right. \]
ここで，$a,\ k$は$0<a<1,\ k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．
(3)$P(X \leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{k}{a}x & (0 \leqq x \leqq a) \\
\displaystyle\frac{k}{2-a}(2-x) & (a<x \leqq 2)
\end{array} \right. \]
ここで，$a,\ k$は$0<a<1,\ k>0$を満たす定数である．次の各問いに答えよ．
(1)定数$k$の値を求めよ．
(2)$X$の平均（期待値）$E(X)$を$a$を用いて表せ．
(3)$P(X \leqq u)=0.5$となる実数$u$を$a$を用いて表せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第8問確率変数$Z$が標準正規分布$N(0,\ 1)$に従うとき，
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．
(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．
(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．
\[ P(Z>1.96)=0.025,\ P(Z>2.58)=0.005,\ \frac{2.58}{1.96} \fallingdotseq 1.32 \]
であるとして，次の各問いに答えよ．
(1)確率変数$X$のとる値$x$の範囲が$-1 \leqq x \leqq 1$で，その確率密度関数が$f(x)=k(1-x^2)$で与えられている．このとき，定数$k$の値と$X$の平均を求めよ．
(2)母平均$m$，母標準偏差10の母集団から大きさ100の無作為標本を抽出し，その標本平均を$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$とする．標本の大きさ100は十分大きい数であるとみなせるとする．
(3)標本平均$\overline{X^{\phantom{1}}\!\!}$を用いて，母平均$m$の信頼度$95\%$の信頼区間を求めよ．
(4)母平均$m$を信頼度$99\%$の信頼区間を用いて区間推定するとき，信頼区間の幅を(a)で求めた幅より小さくするためには，標本の大きさ$n$をいくつ以上にとればよいか求めよ．
国立 鹿児島大学 2011年 第8問次の各問いに答えよ．
(1)確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k$，平均$E(X)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
(2)$Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．
\mon[(b)] 母平均$50$，母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．
\mon[(c)] $0<p<1$とし，$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．
(1)確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり，その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする．このとき，定数$k$，平均$E(X)$を求めよ．
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{cl}
\displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
(2)$Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする．また，任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して，関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．
\mon[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ．ただし，$a$と$b$は定数で$a<b$とする．
\mon[(b)] 母平均$50$，母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき，標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ．
\mon[(c)] $0<p<1$とし，$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする．母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ，標本平均が$45$であった．母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ．