$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$と円$C:x^2+y^2-2y=0$，および直線$\ell:y=kx+2k$がある．ただし，$k$は実数とする．

(1)点$\mathrm{A}$と直線$\ell$の距離を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点で交わるように，$k$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$と円$C$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるとする．線分$\mathrm{PQ}$について，$\mathrm{PQ}=2 \sqrt{k}$が成り立つとき，$k$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$k$に対する直線$\ell$と直線$\mathrm{AB}$のなす角を$\theta$とする．このとき，$\tan \theta$の値を求めよ．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{4}$とする．

$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$，$x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上に$5$点$\mathrm{A}(0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$，$\mathrm{D}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{E} \left( 0,\ \frac{2}{3} \right)$がある．点$\mathrm{E}$と点$\mathrm{P}_1(s,\ 1) (0<s<1)$を通る直線を$\ell_1$とする．直線$y=1$に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と直線$x=1$の交点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，直線$x=1$に関して$\ell_2$と対称な直線$\ell_3$は$x$軸と線分$\mathrm{AD}$上で交わるとし，その交点を$\mathrm{P}_3$とする．

(1)直線$\ell_2$が点$\mathrm{D}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{DP}_3$の長さを$s$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{EP}_1+\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の最大値と最小値を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く．点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と，点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)正の実数$a$に対して，$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$，$x=-a$によって囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ．

次の$[　]$の中を適当に補え．

(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[　]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[　]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[　]$．