「直線」について
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国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2016年 第2問辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$に対して，平面$\mathrm{OAB}$上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{OP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．点$\mathrm{P}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，その垂線と平面$\mathrm{OBC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と平面$\mathrm{ABC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．
\[ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\quad \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$k$を実数として$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-x^2+4x+k \]
を考える．点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C_1$の接線を$\ell$とする．$C_2$は$\ell$に点$\mathrm{Q}$で接するとして，点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．不等式$a>b>0$が成り立つとする．$C_1$と$\ell$および$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とし，$C_2$と$\ell$および$y$軸で囲まれた図形の面積を$T(a)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)$k,\ b$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(3)$S(a),\ T(a)$をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(4)$a$が条件$a>b>0$を満たすように動くとき，$S(a)+T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第1問曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第1問曲線$C:y=x^2$と，$C$上の点$\mathrm{P}_1(-1,\ 1)$と$\mathrm{P}_2(3,\ 9)$を考える．線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{H}$，$\mathrm{P}_1$における接線と$\mathrm{P}_2$における接線の交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{HQ}$と曲線$C$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)直線$\mathrm{HQ}$の方程式を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(5)線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{H}$と線分$\mathrm{HR}$と曲線$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第4問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2016年 第2問半直線$\ell:y=x (x \geqq 0)$，放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{2}}{4}x^2+\frac{\sqrt{2}}{2}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)放物線$C$と半直線$\ell$が接する点の座標を求めよ．
(2)$t \geqq 0$とする．原点からの距離が$t$である$\ell$上の点を$\mathrm{A}(t)$とするとき，$\mathrm{A}(t)$を通り$\ell$に直交する直線と，放物線$C$の共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と半直線$\ell$および$y$軸とで囲まれた図形を，半直線$\ell$のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．