曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(a,\ e^a)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．ただし，$a>1$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)図形$D$の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^b}^{e^a} (\log y)^2 \, dy$を$a$を用いて表せ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を$a$を用いて表せ．
(5)$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{ae^a}$と$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{V}{aS}$を求めよ．

二つの放物線

$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$

がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

$xy$平面上に曲線$C:y=\log x$がある．曲線$C$上の異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ \log a)$，$\mathrm{B}(b,\ \log b)$における法線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$d$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数である．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d=\sqrt{a^2+1} \left( b+\frac{\log a-\log b}{a-b} \right)$を示せ．
(4)$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$に限りなく近づくときの$d$の極限値を$\displaystyle r=\lim_{b \to a}d$とする．

(i) $\displaystyle r=\frac{(a^2+1)^{\frac{3}{2}}}{a}$を示せ．
(ii) $a$が$a>0$の範囲を動くとき，$r$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

座標平面上の放物線$\displaystyle y=x^2-\frac{1}{2}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$t$を$0<t<1$をみたす実数とする．$xy$平面上の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1)$に対し，線分$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，線分$\mathrm{PQ}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が曲線$y=x^2$の点$\mathrm{R}$における接線であることを示せ．
(3)$t$が条件$0<t<1$をみたしながら変化するとき，直線$\ell$が通過する領域を図示せよ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

$f(x)=xe^x$とするとき，次の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底とし，$2<e<3$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} xe^{-x}=0$であることは用いてよい．

(1)関数$y=f(x)$の増減およびグラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=-1$，$x=1$および$x$軸で囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(3)$t$を実数とし，数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=f(t)a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．$\displaystyle t \leqq \frac{1}{2}$ならば，$\{a_n\}$は収束することを示せ．

$xy$平面において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$と点$(2,\ 0)$の距離が，点$\mathrm{P}$と直線$x=1$の距離の$\sqrt{2}$倍と等しくなるような点$\mathrm{P}$の描く曲線を$C$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)$t$を$0$でない実数とし，曲線$C$と直線$x+y=t$との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{QH}$とする．$t$が$2 \leqq t \leqq 4$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{QH}$が通過してできる図形の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=x^2+ax+b$，$g(x)=x^2+bx+a$とする．$2$次方程式$f(x)=0$が実数解をもつとする．その実数解の$1$つが$2$次方程式$g(x)=0$の$1$つの解の逆数であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=0$の解と$g(x)=0$の解をそれぞれ$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とする．直線$y=x-1$と放物線$y=f(x)$で囲まれる図形の面積を$S_1$とし，直線$y=x-1$と放物線$y=g(x)$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1:S_2=27:8$となるとき，$a$の値を求めよ．