座標平面上の放物線
\[ C_n:y=x^2-p_nx+q_n \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を考える．ただし，$p_n,\ q_n$は
\[ p_1^2-4q_1=4,\quad p_n^2-4q_n>0 \qquad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
を満たす実数とする．$C_n$と$x$軸との二つの交点を結ぶ線分の長さを$\ell_n$とする．また，$C_n$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S_n$は
\[ \frac{S_{n+1}}{S_n}=\left( \frac{n+2}{\sqrt{n(n+1)}} \right)^3 \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$C_n$の頂点の$y$座標を$\ell_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{\ell_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$p_n=n \sqrt{n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$であるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \log \left( -\frac{2q_n}{n^2} \right)$を求めよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数である．

座標平面上の楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$C$とする．$a>2$，$0<\theta<\pi$とし，$x$軸上の点$\mathrm{A}(a,\ 0)$と楕円$C$上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．原点を$\mathrm{O}$とし，直線$\mathrm{AP}$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に平行な直線と，直線$\mathrm{OP}$との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$(1)$で求めた点$\mathrm{R}$の$y$座標を$f(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$f(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{R}$の距離の$2$乗を$g(\theta)$とする．このとき，$0<\theta<\pi$における$g(\theta)$の最小値を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$a<1$とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=x^2-x,\quad C_2:y=x^3+bx^2+cx-a \]
を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$\ell_2$，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b,\ c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．
(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．

$n$を正の整数とする．$2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi$の範囲で関数$f(x)=x \sin x$を考える．関数$f(x)$が極大値をとる$x$を$a_n$とし，曲線$y=f(x)$の変曲点を$(b_n,\ f(b_n))$とする．次の問いに答えよ．

(1)$a_n$と$b_n$はそれぞれ唯$1$つあって，$\displaystyle 2n \pi<b_n<2n \pi+\frac{\pi}{2}<a_n<(2n+1) \pi$を満たすことを示せ．
(2)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}(a_n-2n \pi) \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}(b_n-2n \pi) \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}f(b_n) \]
(3)曲線$y=f(x) (2n \pi \leqq x \leqq (2n+1) \pi)$と$x$軸とで囲まれた図形を，$3$つの直線$x=b_n$，$\displaystyle x=2n \pi+\frac{\pi}{2}$，$x=a_n$によって$4$つの部分に分ける．その面積を左から順に$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$とするとき，$(S_3+S_4)-(S_1+S_2)$の値を求めよ．
(4)以下の極限を求めよ．
\[ (1) \ \lim_{n \to \infty}S_1 \qquad (2) \ \lim_{n \to \infty}S_3 \qquad (3) \ \lim_{n \to \infty}(S_4-S_2) \]

曲線$C:y=\sin^2 x$について，$C$上の点$\displaystyle (t,\ \sin^2 t) \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における$C$の接線と直線$x=a$との交点を$\mathrm{P}$とする．ただし，$a$は$\displaystyle 0 \leqq a \leqq \frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$y$座標を$f(t)$とおくとき，$f(t)$を求めよ．
(2)関数$f(t)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，点$(t,\ \sin^2 t)$における$C$の接線が通るすべての点のうち，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$となるものの範囲を$xy$平面に図示せよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はどの$2$つも互いに垂直であり，$h>0$に対して，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき，$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$は，辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ．

四面体$\mathrm{ABCD}$は

$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$

を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．

(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．

$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．

(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$a>0$を実数とする．関数$f(t)=-4t^3+(a+3)t$の$0 \leqq t \leqq 1$における最大値を$M(a)$とする．

(1)$M(a)$を求めよ．
(2)実数$x>0$に対し，$g(x)=M(x)^2$とおく．$xy$平面において，関数$y=g(x)$のグラフに点$(s,\ g(s))$で接する直線が原点を通るとき，実数$s>0$とその接線の傾きを求めよ．
(3)$a$が正の実数全体を動くとき，
\[ k=\frac{M(a)}{\sqrt{a}} \]
の最小値を求めよ．