関数$f(x)=x-\log x (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の増減，極値と，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(e,\ f(e))$における接線を$\ell$とする．

(i) $\ell$の方程式を求めよ．
(ii) 曲線$y=f(x)$，接線$\ell$および直線$x=1$で囲まれた部分の面積を求めよ．

(3)曲線$y=f(x)$，曲線$y=\log x$，直線$x=1$および直線$x=e$で囲まれた部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

関数$y=e^{-x}$で表される曲線を$C$とする．また，$t$は$0<t<2$をみたす実数とし，$x=t$における曲線$C$の接線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$y$軸，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸，直線$x=3$，曲線$C$および接線$\ell$で囲まれた部分の面積を$S_2(t)$とする．$S_1(t)+S_2(t)$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$S_1(t)+S_2(t)$の最小値を求めよ．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおき，三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{P}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{1}{4} \overrightarrow{b}+\frac{1}{2} \overrightarrow{c}$を満たすようにとる．また，直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BP}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{CP}$と直線$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{AF}:\mathrm{FB}$，$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}$をそれぞれ求めよ．
(3)次の問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の垂心であるとする．すなわち，$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CF}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BE}}$が成り立っている．このとき，$|\overrightarrow{b|}:|\overrightarrow{c|}$および$\cos \angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(ii) 点$\mathrm{P}$が三角形$\mathrm{ABC}$の外心になることがあるかどうかを調べよ．

$t$を実数とし，$a=t^3+2(2+\sqrt{6})t^2+3(1+2 \sqrt{6})t+2(2+\sqrt{6})$とする．点$(2,\ -2)$を通り，傾き$a$の直線を$\ell$とする．$\ell$と放物線$y=x^2$が交わらない$t$の範囲を求めよ．

曲線$y=e^{-x}$を$C$とし，$n$を自然数とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^{-t})$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[イ]$である．
(2)一般に，曲線$C$上の点$\mathrm{P}_n$が与えられたとき，この点$\mathrm{P}_n$における接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}_n$とし，点$\mathrm{Q}_n$を通り，$x$軸に垂直な直線と曲線$C$の交点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．$\mathrm{P}_1(0,\ 1)$から出発して，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_2$，$\cdots$のように点をとる．このとき，点$\mathrm{Q}_n$の$x$座標は$[ロ]$である．
(3)曲線$C$，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n$および直線$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．このとき，$S_n=[ハ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n=[ニ]$である．

複素数平面上で原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{B}(\beta)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$がある．直線$\mathrm{OB}$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$，直線$\mathrm{OA}$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を$\mathrm{D}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，複素数$z$と共役な複素数を$\overline{z}$で表すものとする．

(1)点$\mathrm{C}(\gamma)$とするとき，$\gamma=\overline{\left( \displaystyle\frac{\alpha}{\beta} \right)} \;\beta$であることを示せ．
(2)辺$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{DC}$が平行なとき，$\triangle \mathrm{OAB}$はどのような三角形か．

（注：出題ミスで解けません）一辺の長さが$5$である正三角形$\mathrm{ABC}$とその外接円がある．図のように，点$\mathrm{D}$を直線$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と異なる側で$\mathrm{AD}=6$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{BD}+\mathrm{CD}$の長さを求めよ．
（図は省略）

関数$f(x)=x^4-2x^2+x$について，次の問いに答えよ．

(1)曲線$y=f(x)$と$2$点で接する直線の方程式を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$(1)$で求めた直線で囲まれた領域の面積を求めよ．

曲線$y=e^{-x^2}$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．