円$C:(x-3)^2+(y+2)^2=2$と直線$\ell:y=2x-7$について考える．円$C$と直線$\ell$は，異なる$2$つの点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．線分$\mathrm{AB}$の長さを$m$とするとき，$\sqrt{5}m$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{CS}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{AR}$の長さが線分$\mathrm{AB}$の長さの$m$倍となるとき，$4m$の値を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．

$xy$平面上の$2$つの曲線

$C_1:y=e^x-2$
$C_2:y=\log x$

について以下の問いに答えよ．ただし，$\log$は自然対数であり，$e$は自然対数の底とする．

(1)$s$を実数，$t$を正の数とする．$C_1$上の点$(s,\ e^s-2)$における$C_1$の接線の方程式，および$C_2$上の点$(t,\ \log t)$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の両方に接する直線は$2$本存在する．それぞれの直線の方程式を求めよ．
(3)$(2)$の$2$直線それぞれの$C_2$との接点の座標を求めよ．
(4)$(2)$の$2$直線の交点の$x$座標を求めよ．
(5)$C_2$と$(2)$の$2$直線で囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上で，曲線$y=ax^2+bx+2$を$C$とおく．また，直線$y=ax+b+2$を$\ell$とおく．ただし，$a,\ b$は定数とし，$a>0$とする．以下の問に答えなさい．

(1)曲線$C$と直線$\ell$がただ$1$つの共有点を持つための必要十分条件となる$a,\ b$の式を求めなさい．また，その共有点の座標を求めなさい．
(2)いま，曲線$C$と直線$\ell$が$2$つの交点を持ち，$2$交点の$x$座標の差の絶対値は$4$であるとする．また，曲線$C$と直線$\ell$で囲まれる部分の面積は$64$であるとする．このとき，これを満たす$a,\ b$の値を求めなさい．

次の設問の$[　]$に適当な数を入れなさい．

点$(4,\ 2,\ 7)$を通りベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 4)$に平行な直線を$\ell$，点$(2,\ 12,\ -5)$を通りベクトル$\overrightarrow{b}=(1,\ 3,\ -3)$に平行な直線を$m$とし，直線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$，直線$m$上の点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$が直線$\ell$および直線$m$と垂直であるとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標は$[　]$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$[　]$である．

次の問いに答えなさい．

$2$つの関数$f(x)=x^2+3$と$g(x)=4x^2-8 |x|$を考える．$xy$座標平面において，$y=f(x)$のグラフを$C_1$とし，$y=g(x)$のグラフを$C_2$とする．また，$C_1$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の$y$切片を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$の共有点のうち，第$1$象限にある点の座標を求めよ．
(4)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(5)$xy$座標平面上の関数$y=4x^2-8 |x|+ax+1$のグラフと$x$軸との共有点が$4$個になるように，定数$a$の値の範囲を定めよ．

双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2=1$に対し，双曲線上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$における接線を$\ell$とする．ただし，$a>0$とする．

(1)$\ell$の方程式が$\displaystyle \frac{ax}{2}-by=1$で与えられることを示せ．
(2)$\ell$に垂直な双曲線の接線$m$が引けるための$a$の条件を求めよ．
(3)$a$が$(2)$の条件を満たすとする．双曲線上の点$\mathrm{Q}(c,\ d)$における接線が$\ell$に垂直に交わるように点$\mathrm{Q}$を定める．ただし，$d>0$とする．$\mathrm{O}$を原点とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を最小にする$a$の値を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について，$a_{27}=20$，$a_{37}=15$が成り立っている．このとき，$a_1=[ア]$であり，$d=[イ]$である．したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる．
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする．$D$の面積は$[エ]$であり，$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり，$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である．
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり，法線$m$の方程式は$[ク]$である．また，$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると，$X$の範囲は$[ケ]$であり，$Y$の範囲は$[コ]$である．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$a$を実数とする．$3$辺の長さがそれぞれ$a-1,\ a,\ a+1$となる三角形が存在するとき，$a$の値の範囲は$[ア]$である．この三角形が鈍角三角形となる$a$の値の範囲は$[イ]$である．$a=[ウ]$のとき，$1$つの内角が$\displaystyle \frac{2\pi}{3}$となる三角形である．このとき三角形の外接円の半径は$[エ]$であり，内接円の半径は$[オ]$である．
(2)$k$を実数とし，$f(x)=x^4+kx^2+1$とおく．曲線$C_1:y=f(x)$の点$\mathrm{P}(1,\ f(1))$における接線$\ell$の方程式は$y=[カ]$である．直線$\ell$は，$k$の値によらず定点$([キ])$を通る．$k$の値の範囲が$[ク]$のとき，曲線$C_1$と直線$\ell$との共有点の個数は$3$となる．このとき，この$3$つの共有点を通る$3$次関数で定義される曲線のうち，$x^3$の係数が$1$である曲線$C_2$は$y=[ケ]$で表される．$k=-7$のとき，$\ell$と$C_2$で囲まれた$2$つの部分の面積の差の絶対値は$[コ]$である．