$a$を$0<a<1$である実数とする．座標平面において，直線$y=a$と$x$軸および$2$直線$x=a$，$x=1$で囲まれた部分を$D_1$とし，曲線$y=(x-1)^2+1$と直線$y=a$および$2$直線$x=0$，$x=a$で囲まれた部分を$D_2$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面に$D_1$と$D_2$を図示せよ．
(2)$D_1$の面積$S_1$を$a$の式で表せ．
(3)$D_2$の面積$S_2$を$a$の式で表せ．
(4)$S=S_1+S_2$とするとき，$S$を最大にする$a$の値を求めよ．

座標平面上の曲線$y^2-2x-2=0$と直線$\displaystyle x+y=\frac{1}{2}$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面に$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$の内部および境界線上を動くとき，$3x+2y$の値がとりうる範囲を求めよ．

$n$を自然数とする．下図のように，$3$本の平行な道路$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$があり，$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と，$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ，交互に配置されているとする．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．


\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．

次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．

$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．

$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$，$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし，曲線$C(\alpha)$と$y$軸，および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す．次の問いに答えよ．

(1)曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ．
(2)図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ．
(3)図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ．
(4)$(2)$，$(3)$で求めた$S(\alpha)$，$V(\alpha)$に対して，$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．

曲線$C_1:y=(x-a)^2-4$と直線$\ell:y=2x-7$が点$\mathrm{P}$で接している．曲線$C_2$は，$y=-x^2$を平行移動した曲線で，$\mathrm{P}$を通り，直線$y=6$の$x<0$の部分に接している．ただし，$a$は実数とする．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_2$の方程式を求め，$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=x \sqrt{4-x^2}$に対し，曲線$y=f(x)$を$C$とする．

(1)$f(x)$の増減を調べよ．ただし，$f(x)$の第$2$次導関数を調べる必要はない．
(2)$C$上の点$(1,\ \sqrt{3})$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$の$0 \leqq x \leqq \sqrt{2}$の部分，直線$x=\sqrt{2}$および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)$C$と$x$軸の$x \geqq 0$の部分で囲まれた図形を$D$とする．$D$を$y$軸の周りに$1$回転させてできる回転体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる．点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$，$m$とする．$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$，$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求め，$q$を$a$を用いて表せ．
(2)法線$m$の方程式を求め，$r$を$a$を用いて表せ．
(3)曲線$C$，直線$m$，および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする．極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ．

$xy$平面上に$5$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ t \right)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq t<1 \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q}(\alpha,\ 0)$ \ $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \leqq \alpha \leqq 1 \right)$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$を通る直線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB} \leqq {90}^\circ$を示せ．
(3)$\ell$に垂直で$\mathrm{Q}$を通る直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{R}$の$x$座標を$\alpha$と$t$を用いた式で表せ．
(4)$(3)$の$\mathrm{R}$が線分$\mathrm{PA}$上にあるための$\alpha$の範囲を$t$を用いた式で表せ．