$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$チームが試合を行う．第$1$試合に$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．第$2$試合以降は，直前の試合に勝ったチームが残りの$1$チームと対戦することを繰り返す．最初に$2$連勝したチームを優勝とする．いずれのチームも試合に勝つ確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$であり，各試合に引き分けはないものとする．このとき，

(1)第$5$試合で$\mathrm{A}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$][$43$]}$であり，第$6$試合で$\mathrm{C}$が優勝する確率は$\displaystyle \frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$である．
(2)第$6$試合もしくはそれ以前に$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が優勝する確率は，それぞれ$\displaystyle \frac{[$47$][$48$]}{[$49$][$50$]}$，$\displaystyle \frac{[$51$]}{[$52$][$53$]}$である．

(3)$\mathrm{A}$が第$1$試合で勝ち，かつ$\mathrm{A}$が第$3n$試合もしくはそれ以前に優勝する確率を$n$の式で表すと，$\displaystyle \frac{[$54$]}{[$55$]} \left\{ [$56$]-\left( \frac{[$57$]}{[$58$]} \right)^n \right\}$である．ただし，$n$は自然数とする．

コインを連続して投げる試行を考える．表が出た回は賞金が得られ，裏が出た回の賞金は$0$円とする．賞金は，$1$回目の試行で表なら$1$円，直前に裏が出て表が出たら$1$円である．裏が出た直後の試行または$1$回目の試行から数えて$n$回（$n \geqq 2$）続けて表が出ると，この$n$回目の表に対して$n$円得られるとする．たとえば，$5$回投げて表，表，裏，表，表の順に出た場合に（表，表，裏，表，表）と表記する．この場合には$1+2+0+1+2$の合計$6$円の賞金が得られる．以下の問題に答えよ．

(1)$2$回コインを投げ，$2$回とも表が出る確率を求めよ．
(2)$2$回コインを投げたとき，得られる賞金の期待値を求めよ．
(3)$5$回コインを投げて$3$回表が出たとする．得られる賞金が最も多いときと最も少ないときの賞金の差を求めよ．
(4)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$4$円である確率を求めよ．
(5)$5$回コインを投げたとき，得られる賞金が$3$円以下である確率を求めよ．

$24$時間診療業務を休みなく行う病院において，$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える．$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり，$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする．さて，病院における在庫管理では，「品切れ」が起きないこと，「コスト」をできるだけ低くすること，この$2$つが肝要である．医療材料$\mathrm{A}$の保管費は，その保管期間に比例し，$1$個につき$10$日間で$1$円である．また，納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば，注文量の多少に関わらず，品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる．なお，担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており，品切れになる直前という最適のタイミングで，注文した量が届くものとする．われわれは，保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする．そして注文する量は毎回一定として，$x$で表す．このとき，時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを，横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ．（図示する際には，適当な$x$の値を自ら設定すること．）
以下，$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する．
(2)周期的な$y$の変動に留意して，平均在庫量を求めよ．
(3)長期にわたる保管費，事務費の総額をそれぞれ見積もり，保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ．さらに，この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ．

ボタンを押すと，$0$と$1$のどちらか一方の数字を表示する機械がある．ボタンを連続して押すとき，直前に表示された数字と同じ数字が再び表示される確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$，違う数字の表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$である．ただし，始めにボタンを押すときには，$0$と$1$が表示される確率は等しい．

(1)$4$回連続してボタンを押すとき，$4$回とも同じ数字が表示される確率は$\displaystyle \frac{[ヒ]}{[フ]}$である．また，$4$回目に表示された数字が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[ヘ]}{[ホ]}$である．
(2)$4$回連続してボタンを押すときに表示される数字の合計が$1$である確率は$\displaystyle \frac{[マ]}{[ミ]}$である．また，合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}$である．
(3)始めに表示された数字が$1$のとき，さらに$4$回連続してボタンを押して表示される$4$つの数字の合計が$2$である確率は$\displaystyle \frac{[モ]}{[ヤ]}$である．