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金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$2$次方程式$x^2+3x+1=0$の$1$つの解$x$について,
\[ x+\frac{1}{x}=[アイ],\quad x^2+\frac{1}{x^2}=[ウ],\quad x^4+\frac{1}{x^4}=[エオ] \]
である.
(2)不等式$|x-3|<a$を満たす整数$x$がちょうど$5$個であるような定数$a$の範囲は$[カ]<a \leqq [キ]$である.
(3)$a,\ b$を整数とする.$a$を$13$で割ると$10$余り,$b$を$13$で割ると$7$余るとき,$a+b$,$ab$を$13$で割ると余りはそれぞれ$[ク]$,$[ケ]$である.また,$a^2b+ab^2-a-b$を$13$で割ると余りは$[コ]$である.
(4)男性$3$人と女性$3$人の$6$人を$2$人ずつ$3$組に分ける方法は$[サシ]$通りあり,そのうち各組が男女のペアになる分け方は$[ス]$通りある.
(5)$\displaystyle \tan \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \left( \pi<\theta <\frac{3}{2} \pi \right)$のとき,
\[ \frac{\cos \theta}{1+\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{1+\sin \theta}=-\frac{[アイ]+[ウ] \sqrt{[エ]}}{[オ]} \]
である.
(6)関数$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に$-2$だけ,$y$軸方向に$5$だけ平行移動したグラフは,関数$y=3^x$のグラフと直線$y=x$に関して対称である.このとき,もとの関数は$y=\log_{\mkakko{カ}}(x-[キ])-[ク]$である.
(7)実数$x,\ y$が$2$つの不等式$x^2+y \leqq 4$,$y \geqq 0$を満たすとき,$6x+3y$は$x=[ケ]$,$y=[コ]$のとき最大値$[サシ]$をとり,$x=[スセ]$,$y=[ソ]$のとき最小値$[タチツ]$をとる.
(8)正四面体の面にそれぞれ$1$から$4$の数字のついたさいころを$5$回投げるとき,$4$回以上数字$1$のついた面が下になる確率は$\displaystyle \frac{[テ]}{[トナ]}$である.
獨協大学 私立 獨協大学 2015年 第1問
次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.

(1)$a$を正の定数とするとき,方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする.$a=[$1$]$のとき,$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$,$[$3$]$となる.ただし,$[$2$]$,$[$3$]$は解答の順序を問わない.
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$,$\mathrm{BC}=a$,$\mathrm{CA}=b$とする.$a=2$,$b=3$のとき,$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である.また,$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき,$c=[$5$]$となる.
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき,$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である.
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は,$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり,$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる.
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき,$f(x)=[$11$]$である.
(6)男性$8$人,女性$10$人からなる企業があるとする.このとき,男性$2$人,女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである.また,この$5$人の役員を選んだとき,役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである.
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で,大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり,それぞれを$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{c}$とすると,$\overrightarrow{b}=([$14$])$,$\overrightarrow{c}=([$15$])$である.ただし,$[$14$]$,$[$15$]$は解答の順序を問わない.
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える.この数列の第$n$項を$a_n$で表すと,$a_n=[$16$]$となるので,初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる.
天使大学 私立 天使大学 2015年 第4問
次の問いに答えなさい.

(1)$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$2$人を含む$5$人でじゃんけんを$1$回行う.$5$人の手(グー・チョキ・パー)の出し方の組み合わせは,同様に確からしいとする.

(i) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に「グー」で勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{a}$}}{\mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}}$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{a}$}$は正の数である.
(ii) $\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$に勝つ確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$} \mkakko{$\mathrm{g}$}}$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{e}$}$は正の数である.

(2)$5$人の男性と$5$人の女性で,$2$人のグループを$5$組つくる.

(i) グループのつくり方は,全部で$\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$} \mkakko{$\mathrm{j}$}$通りある.
(ii) 組み合わせをクジで決めるとする.女性の入らない組が少なくとも$1$つできる確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{k}$} \mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{k}$}$は正の数である.
獨協大学 私立 獨協大学 2014年 第1問
次の設問の空欄を,あてはまる数値や記号,式などで埋めなさい.

(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを,$x$軸方向に$[$1$]$,$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである.
(2)次の式の分母を有理化せよ.
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$,$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り,線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される.
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている.その階差数列を$\{b_n\}$とする.このとき,$b_1=[$8$]$,$b_2=[$9$]$であり,数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される.よって,数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる.
(5)$x+y=20$,$x>0$,$y>0$であるとき,$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である.
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$,$\mathrm{BC}=2$,$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は,$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる.
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$,$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について,$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$,$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$,$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する.また,このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる.
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$,$\mathrm{b}$がいる.この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ.このとき,男性が選んだ女性がその男性を選べば,その男女をペアとする.たとえば,男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び,女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば,その男女はペアとなる.このとき,ペアが全くできない確率は$[$17$]$,ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$,ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である.
上智大学 私立 上智大学 2012年 第3問
$10$人ずつの男女に関する条件$(\mathrm{A})$~$(\mathrm{E})$を考える.

\mon[$(\mathrm{A})$] 帽子をかぶっている人がいるならばその人は男性であり,かつ,帽子をかぶっていて腕時計をしていない人がいる.
\mon[$(\mathrm{B})$] 帽子をかぶっている人がいるならばその人は男性であり,かつ,腕時計をしていて帽子をかぶっていない人がいる.
\mon[$(\mathrm{C})$] 女性ならば帽子をかぶっておらず,かつ,腕時計をしている人がいるならばその人は帽子をかぶっている.
\mon[$(\mathrm{D})$] 帽子をかぶっている男性がおり,かつ,腕時計をしている人がいるならばその人は帽子をかぶっている.
\mon[$(\mathrm{E})$] 帽子をかぶっている女性がおり,かつ,帽子をかぶっている人がいるならばその人は腕時計をしている.


(1)選択肢の中から$(\mathrm{A})$であるための必要条件を全てマークせよ.例えば,「$(\mathrm{A}) \Longrightarrow (\mathrm{a})$」が真であるときは$\mathrm{a}$をマークせよ.ただし,必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ.
(2)選択肢の中から$(\mathrm{B})$であるための必要条件を全てマークせよ.ただし,必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ.
(3)選択肢の中から$(\mathrm{C})$であるための必要条件を全てマークせよ.ただし,必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ.
(4)選択肢の中から$(\mathrm{D})$であるための必要条件を全てマークせよ.ただし,必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ.
(5)選択肢の中から$(\mathrm{E})$であるための必要条件を全てマークせよ.ただし,必要条件が選択肢の中になければ$z$をマークせよ.

選択肢:
$(\mathrm{a})$ 腕時計をしている人がいるならばその人は男性である.
$(\mathrm{b})$ 腕時計をしている男性がいる.
$(\mathrm{c})$ 腕時計をしている人がいるならばその人は女性である.
$(\mathrm{d})$ 腕時計をしている女性がいる.
$(\mathrm{e})$ 腕時計をしていない男性がいる.
$(\mathrm{f})$ 腕時計をしていない女性がいる.
岡山大学 国立 岡山大学 2010年 第1問
男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が,横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える.

(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか.
(2)(1)の座り方の中で,M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか.
(3)(1)の座り方の中で,M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか.
岡山大学 国立 岡山大学 2010年 第1問
男性$\text{M}_1,\ \cdots,\ \text{M}_4$の4人と女性$\text{F}_1,\ \cdots,\ \text{F}_4$の4人が,横一列に並んだ座席$\text{S}_1,\ \cdots,\ \text{S}_8$に座る場合を考える.

(1)同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか.
(2)(1)の座り方の中で,M$_1$の両隣りがF$_1$とF$_2$になる座り方は何通りあるか.
(3)(1)の座り方の中で,M$_1$とF$_1$が隣り合わない座り方は何通りあるか.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2010年 第1問
次の[\phantom{ア]}にあてはまる数,数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ.

(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である.
(2)ある囲碁大会で,$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて,男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う.その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき,同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である.
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で,その定義域は$[オ]$である.
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