「用意」について
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国立 豊橋技術科学大学 2016年 第4問以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第1問$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．
国立 岡山大学 2015年 第1問$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．
(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が連続している確率（すなわち，$2$つの番号の差の絶対値が$1$である確率）を$n$の式で表せ．
国立 東京大学 2015年 第2問どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し，次のように左から順に文字を書く．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
さいころを投げ，出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，$4$のときは文字$\mathrm{B}$を，$5$のときは文字$\mathrm{C}$を，$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く．さらに繰り返しさいころを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，さいころを$5$回投げ，その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回さいころを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
国立 東京大学 2015年 第4問投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$のコインを$1$枚用意し，次のように左から順に文字を書く．
コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
コインを投げ，表が出たときは文字列$\mathrm{AA}$を書き，裏が出たときは文字$\mathrm{B}$を書く．さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って，$\mathrm{AA}$，$\mathrm{B}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく．
たとえば，コインを$5$回投げ，その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとすると，得られる文字列は，
\[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \ \mathrm{B} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \]
となる．このとき，左から$4$番目の文字は$\mathrm{B}$，$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である．
(1)$n$を正の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ．
(2)$n$を$2$以上の整数とする．$n$回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で，かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ．
私立 旭川大学 2015年 第4問$\mathrm{U}$大学のオープンキャンパスに$30$名の高校生が参加した．この$30$名の高校生のために，みそラーメンを$5$個，塩ラーメンを$10$個，しょうゆラーメンを$15$個，計$30$個のラーメンを参加の記念として用意し，高校生$1$名に必ず$1$つのラーメンを渡す．ただし渡すラーメンの味は無作為に決定される．このオープンキャンパスに参加した特定の$2$名，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともにみそラーメンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ味のラーメンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともにみそラーメンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ味のラーメンを渡される確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2015年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．$1$から$N$までの数字が書かれた$N$枚のカードを用意し，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の二人で次のようなゲームを行う．まず$\mathrm{A}$は，$1$から$N$までの数のうちから一つ選びそれを$K$とし，その数は$\mathrm{B}$に知らせずにおく．その後，以下の試行を何度も繰り返す．
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．
(1)$K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2)$K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4)自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．
$\mathrm{B}$は$N$枚のカードから無作為に一枚引いて$\mathrm{A}$にその数を伝え，$\mathrm{A}$は引かれた数字が$K$より大きければ「上」，$K$以下であれば「以下」と$\mathrm{B}$に答え，$\mathrm{B}$はその答から$K$の範囲を絞り込む．引いたカードは元へ戻す．
このとき，$n$回以下の試行で$\mathrm{B}$が$K$を確定できる確率を$P_N(n)$で表す．次の問に答えよ．
(1)$K=1$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(2)$K=2$のとき，$P_3(1)$，$P_3(2)$，$P_3(3)$を求めよ．
(3)$K=1,\ 2,\ \cdots,\ N$について$P_N(n)$を求めよ．
(4)自然数$c$に対して，極限値$\displaystyle \lim_{N \to \infty} P_N(cN)$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．
数直線上の点の集合$S=\{-1,\ 0,\ 1\}$を考える．球が$2$個用意されており，$S$の各点上には，$2$個まで球を置くことができるとする．$S$内に置かれた球に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{T}$}
\mon[$(\mathrm{T}1)$] $S$内に球が$1$個だけ置かれている場合は， その球に対して次の操作$\mathrm{A}$を行う．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{A}$}
\mon[$(\mathrm{A}1)$] 球が点$0$上に置かれている場合はその球を確率$\displaystyle\frac{1}{3}$で$S$内から取り除き，確率$\displaystyle\frac{1}{3}$ずつで点$-1$または点$1$の上に移す．
\mon[$(\mathrm{A}2)$] 球が点$-1$または点$1$の上に置かれている場合はその球を必ず点$0$の上に移す．
\end{screen}
\mon[$(\mathrm{T}2)$] $S$内に球が$2$個置かれている場合は，どちらか$1$個の球を等しい確率で選び，その選ばれた球に対して操作$\mathrm{A}$を行う．
\end{screen}
いま，球が$2$個とも点$0$上に置かれている状態から始め，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．ただし，$S$内に球がなくなった場合は操作を行うのをやめる．以下，$n,\ m$を自然数とする．
(1)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，球が$2$個とも点$0$上に置かれている確率を$p_n$とし，点$-1$と点$0$の上に$1$個ずつ置かれているかまたは点$0$と点$1$の上に$1$個ずつ置かれている確率を$q_n$とする．
\mon[$(1$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，$p_n=[あ]q_{n-1}$である．
\mon[$(1$-$2)$] $q_1=[い]$である．一般に$q_{2m}=0$であり，$q_{2m-1}$を$m$の式で表すと$q_{2m-1}=[う]$である．
(2)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，$S$内に球が$1$個だけあり，かつそれが点$0$上に置かれている確率を$r_n$，点$-1$または点$1$の上に置かれている確率を$s_n$とする．
\mon[$(2$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，
\[ \begin{array}{l}
r_n=[え]s_{n-1}+[お]p_{n-1} \\
s_n=[か]r_{n-1}+[き]q_{n-1}
\end{array} \]
である．
\mon[$(2$-$2)$] 一般に$r_{2m}=0$であり，$r_{2m-1}$を$m$の式で表すと$r_{2m-1}=[く]$である．
数直線上の点の集合$S=\{-1,\ 0,\ 1\}$を考える．球が$2$個用意されており，$S$の各点上には，$2$個まで球を置くことができるとする．$S$内に置かれた球に対する次の操作$\mathrm{T}$を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{T}$}
\mon[$(\mathrm{T}1)$] $S$内に球が$1$個だけ置かれている場合は， その球に対して次の操作$\mathrm{A}$を行う．
\begin{screen}
{\bf 操作$\mathrm{A}$}
\mon[$(\mathrm{A}1)$] 球が点$0$上に置かれている場合はその球を確率$\displaystyle\frac{1}{3}$で$S$内から取り除き，確率$\displaystyle\frac{1}{3}$ずつで点$-1$または点$1$の上に移す．
\mon[$(\mathrm{A}2)$] 球が点$-1$または点$1$の上に置かれている場合はその球を必ず点$0$の上に移す．
\end{screen}
\mon[$(\mathrm{T}2)$] $S$内に球が$2$個置かれている場合は，どちらか$1$個の球を等しい確率で選び，その選ばれた球に対して操作$\mathrm{A}$を行う．
\end{screen}
いま，球が$2$個とも点$0$上に置かれている状態から始め，操作$\mathrm{T}$を繰り返し行う．ただし，$S$内に球がなくなった場合は操作を行うのをやめる．以下，$n,\ m$を自然数とする．
(1)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，球が$2$個とも点$0$上に置かれている確率を$p_n$とし，点$-1$と点$0$の上に$1$個ずつ置かれているかまたは点$0$と点$1$の上に$1$個ずつ置かれている確率を$q_n$とする．
\mon[$(1$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，$p_n=[あ]q_{n-1}$である．
\mon[$(1$-$2)$] $q_1=[い]$である．一般に$q_{2m}=0$であり，$q_{2m-1}$を$m$の式で表すと$q_{2m-1}=[う]$である．
(2)操作$\mathrm{T}$を$n$回繰り返し終えたとき，$S$内に球が$1$個だけあり，かつそれが点$0$上に置かれている確率を$r_n$，点$-1$または点$1$の上に置かれている確率を$s_n$とする．
\mon[$(2$-$1)$] $n \geqq 2$に対し，
\[ \begin{array}{l}
r_n=[え]s_{n-1}+[お]p_{n-1} \\
s_n=[か]r_{n-1}+[き]q_{n-1}
\end{array} \]
である．
\mon[$(2$-$2)$] 一般に$r_{2m}=0$であり，$r_{2m-1}$を$m$の式で表すと$r_{2m-1}=[く]$である．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．