「独立」について
タグ「独立」の検索結果
（1ページ目：全29問中1問～10問を表示）
国立 防衛医科大学校 2016年 第2問$m$個の玉を$n$個の箱に入れる作業を考える（$1 \leqq m \leqq n$）．各玉をどの箱に入れるかはランダム，すなわち，すべての箱は$\displaystyle \frac{1}{n}$の確率で選ばれるものとし，各々の玉を入れる作業は独立であるとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
(1)すべての玉が別々の箱に入る確率はいくらか．
(2)$m=3$のとき，$2$個の箱にのみ玉が入る確率はいくらか．
(3)$m-k$個の箱にのみ玉が入る確率を$P_{m,k}(n)$とする．ここで，$m \geqq 2$，$1 \leqq k \leqq m-1$である．$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_{m,k}(n)$はいくらか．
国立 鹿児島大学 2016年 第6問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
私立 明治大学 2016年 第1問次の$[ ]$に適切な数を入れよ．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．
また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．
(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．
また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．
国立 京都大学 2015年 第3問$6$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が下図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする．そのような経路がない場合は$X$を$0$とする．このとき，$n=0,\ 2,\ 4$について，$X=n$となる確率を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 鳥取大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．
(1)$4$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4$を使ってできる$5$桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同じ数字を重複して使ってよいものとする．
(i) $2$の倍数の個数
(ii) $9$の倍数の個数
(iii) $22000$以上の整数の個数
(2)前問と同じ方式で$5$桁の整数を独立に$2$個作り，それらを$m,\ n$とするとき，$m \leqq n$となる$(m,\ n)$の組の個数を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第2問スイッチを押すと，$0$から$n$までの整数が$1$つ表示される機械がある．表示される数字を$X$とすると，$X=k$となる確率$P(X=k)=C \alpha^k (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)$である．ただし，$C$は定数，$0<\alpha<1$である．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
(1)$P(X=k)$を$\alpha$と$k$で表せ（$k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
(2)$P(X<k)>1-\alpha^k$であることを示せ（$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n+1$）．
(3)確率$p$で$1$点もらえ，確率$1-p$で得点がもらえない試行を考える（$0<p<1$）．この試行を独立に$m$回行ったとき，$l$点（$0 \leqq l \leqq m$）もらえる確率を$Q_{m,l}(p)$と表す．このとき，$m,\ l$を一定とし，$p$を変数とみなして以下の問に答えよ．
(i) $y=\log Q_{m,l}(p)$はどのような変化をするか．$p$を横軸，$y$を縦軸とする$y$のグラフの概形を描け．ただし，$\log$は自然対数である．
(ii) $Q_{m,l}(p)$を最大にする$p$を求めよ．
(4)$\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}$とする．このとき，$Q_{2m,m}(P(X<k))$を最大にする$k (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第4問銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．
(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．
私立 上智大学 2015年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}
(1)$\displaystyle x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$とする．
\[ x^2+[ア]x+[イ]=0 \]
である．また，$y=x^2$とするとき，
\[ y^2+[ウ]y+[エ]=0 \]
である．$x^3=ax+b$となる整数$a,\ b$は
\[ a=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(2)$\theta$を実数とするとき，
$\cos 3\theta=[キ] \cos^3 \theta+[ク] \cos \theta,$
$\cos 5\theta=[ケ] \cos^5 \theta+[コ] \cos^3 \theta+[サ] \cos \theta$
である．
(3)$a>1$とする．数列
$a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad a^3,\ a^2,\ a,\ 1 \quad \biggl| \quad \cdots$
第$1$群 \qquad 第$2$群 \qquad\qquad 第$3$群
において，例えば，第$3$群第$1$項は$a^3$であり，これは最初から数えて第$6$項である．$a^{12}$が初めて現れるのは最初から数えて第$[シ]$項である．また最初から数えて第$645$項は第$[ス]$群$[セ]$項である．
(4)次の$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$のように，$2$つの試行を連続して行った結果それぞれ事象$A$と事象$B$が起こった．$2$つの試行が独立なものの組み合わせとして最もふさわしいものを一つ選べ．
\mon[$\mathrm{a.}$] 赤い玉が$4$個，白い玉が$4$個入った袋がある．
$A:$玉を$1$個取り出したところ白だった．
$B:$最初の試行で取り出した玉を戻した後，$1$個取り出したところ白だった．
\mon[$\mathrm{b.}$] $30$人のクラスがある．
$A:$無作為に選んだ$\mathrm{X}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
$B:$その次に無作為に選んだ$\mathrm{Y}$さんの誕生日が$1$月$1$日である．
\mon[$\mathrm{c.}$] $5$つの扉があり，それぞれの後ろに猫が一匹いる．猫は黒猫が$3$匹，白猫が$2$匹であり，その場から動かないものとする．
$A:1$つ目の扉を開けたところ，黒猫がいた．
$B:1$つ目の扉を閉じた後，別の扉を開けたところ，白猫がいた．
\begin{screen}
選択肢：
\begin{tabular}{lll}
$1.$ \ $\mathrm{a}$ & $2.$ \ $\mathrm{b}$ & $3.$ \ $\mathrm{c}$ \\
$4.$ \ $\mathrm{ab}$ & $5.$ \ $\mathrm{ac}$ & $6.$ \ $\mathrm{bc}$ \\
$7.$ \ $\mathrm{abc}$ \phantom{AAAAA} & $8.$ \ なし \phantom{AAAAA} & \phantom{AAAAA} \\
\end{tabular}
\end{screen}