「無作為」について
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国立 名古屋大学 2016年 第2問$n$を正の整数とし，$k$を$1 \leqq k \leqq n+2$を満たす整数とする．$n+2$枚のカードがあり，そのうちの$1$枚には数字$0$が，他の$1$枚には数字$2$が，残りの$n$枚には数字$1$が書かれている．この$n+2$枚のカードのうちから無作為に$k$枚のカードを取り出すとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．
(1)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$1$以上になる確率を求めよ．
(2)取り出した$k$枚のカードに書かれているすべての数字の積が$2$となる確率$Q_n(k)$を求めよ．
(3)与えられた$n$に対して，確率$Q_n(k)$が最大となる$k$の値と，その最大値を求めよ．
国立 静岡大学 2016年 第4問ある高等学校の$3$年生は徒歩通学か自転車通学のいずれかである．このなかから調査対象の集団をいろいろと変えて，そのなかから生徒を無作為に$1$人選ぶ．
(i) 対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり，男子生徒である確率は$b$である．
(ii) 対象の集団を男子生徒とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$c$である．
$a,\ b,\ c$を正の数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき，その生徒が男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$3$年生全体が$100$人で，自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする．$a=c$であるとき，$a$の値をすべて求めよ．
(i) 対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$a$であり，男子生徒である確率は$b$である．
(ii) 対象の集団を男子生徒とするとき，その生徒が徒歩通学である確率は$c$である．
$a,\ b,\ c$を正の数とするとき，次の各問に答えよ．
(1)対象の集団を徒歩通学の生徒とするとき，その生徒が男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)対象の集団を$3$年生全体とするとき，その生徒が徒歩通学かまたは男子生徒である確率を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$3$年生全体が$100$人で，自転車通学の女子生徒が$30$人であるとする．$a=c$であるとき，$a$の値をすべて求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第4問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 宮崎大学 2016年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)上の試行を$3$回繰り返したとき，$3$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を求めよ．
(3)上の試行を$4$回繰り返したとき，$4$回の試行の中のどこかで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが$2$回続けて起こり，かつ$3$回以上続けて起こらない確率を求めよ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)上の試行を$3$回繰り返したとき，$3$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を求めよ．
(3)上の試行を$4$回繰り返したとき，$4$回の試行の中のどこかで，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが$2$回続けて起こり，かつ$3$回以上続けて起こらない確率を求めよ．
国立 琉球大学 2016年 第4問$N$を$3$以上の自然数とする．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出し，そのカードを袋に戻さず次のカードを取り出す」という作業を$3$枚のカードを取り出すまで繰り返す．取り出された$3$枚のカードに書かれた数の最大値を$X$とする．
また，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた$N$枚のカードを袋に入れ，「無作為に$1$枚のカードを取り出してはそれに書かれた数を記録し，袋に戻す」という作業を$3$回行い，記録された数の最大値を$Y$とする．
$n$を$N$以下の自然数とする．$X=n$となる確率を$p_n$とし，$Y=n$となる確率を$q_n$とする．
次の問いに答えよ．
(1)$p_3,\ q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(2)$p_n$と$q_n$を求めよ．
国立 宮崎大学 2016年 第5問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は，赤球$2$個と白球$1$個が入った袋をそれぞれ$1$つずつ持っている．次のような試行を考える．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が，それぞれ自分の持っている袋の中から無作為に球を$1$つ選び，色を見てからもとの袋に戻す．
上の試行を$n (n \geqq 2)$回繰り返したとき，$n$回の試行の中で$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致することが少なくとも$1$回起こるが続けては起こらない確率を$P_n$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$1$回の試行で，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が取り出した球の色が一致する確率を求めよ．
(2)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(3)$n \geqq 4$のとき，
\[ P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5 \cdot 4^{n-1}}{9^n} \]
が成り立つことを示せ．
国立 豊橋技術科学大学 2016年 第4問以下の問いに答えよ．ただし，解が分数になるときは既約分数とせよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
(1)赤玉が$3$個，青玉が$7$個入っている企業$\mathrm{A}$の箱を$a$箱用意し，赤玉が$1$個，青玉が$19$個入っている企業$\mathrm{B}$の箱を$20$箱用意する．すべての箱の玉を混ぜ，その中から$1$個取り出した玉が赤玉となる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$となった．企業$\mathrm{A}$の箱の数$a$を求めよ．
(2)企業$\mathrm{A}$ではある玉を$10$個ずつ$1$つの箱につめている．$10$個のうち赤玉が$3$個，青玉が$7$個含まれているとする．
(i) $1$箱の中から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を確認して戻すということを$2$回行う．$2$回とも赤玉となる確率を求めよ．
(ii) $1$箱の中から一度に無作為に$2$個の玉を取り出す．$2$個とも赤玉となる確率を求めよ．
(iii) 赤玉が$3$個，青玉が$7$個つめられた箱を$3$箱用意する．$1$箱から一度に無作為に$5$個の玉を取り出し，色を確認する．$3$箱とも，取り出した玉のうち赤玉が$1$個以下となる確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2016年 第3問$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，いずれの箱にも赤球が$1$個，白球が$3$個入っている．ここで，「それぞれの箱から$1$個の球を無作為に取り出しそれらを交換する」という試行を$n$回繰り返す．その結果，$2$つの箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がともに元の状態に戻っている確率を$p_n$とする．このとき，正の整数$k$に対して，
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
\[ p_{k+1}=\frac{[カ]}{[キ]}p_k+\frac{[ク]}{[ケ]}(1-p_k) \]
となる．よって，
\[ p_n=\frac{[コ]}{7} \left( \frac{1}{[サ]} \right)^n+\frac{[シ]}{7} \quad (n \geqq 1) \]
となる．
私立 慶應義塾大学 2016年 第4問$3$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．袋$\mathrm{A}$には，$1$から$7$までの番号が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$14$個入っている．また，袋$\mathrm{B}$，袋$\mathrm{C}$には何も入っていない．以下，番号$i$が書かれた玉を「玉$i$」と呼ぶことにする．
袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．
(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である．
(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である．
$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．
(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である．同様に，
$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$
$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$
である．
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個，$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個，$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個，$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個，$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である．
(5)$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である．
袋$\mathrm{A}$から無作為に玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる．ここで袋$\mathrm{B}$に入れられた玉を玉$i$とするとき，玉$i-1$，玉$i$，玉$i+1$のうち袋$\mathrm{A}$に入っているものをそれぞれ$1$個ずつ取り出して袋$\mathrm{C}$に入れる．この一連の操作を繰り返す．
例えば，$1$回目の操作の最初に玉$7$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとする．このとき，袋$\mathrm{A}$には玉$6$と玉$7$は入っているが，玉$8$は入っていないので，玉$6$と玉$7$が$1$個ずつ袋$\mathrm{A}$から袋$\mathrm{C}$に移される．以上で$1$回目の操作が終わり，袋$\mathrm{A}$に玉$1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 6$の計$11$個が入った状態で$2$回目の操作を始める．
(1)$1$回目の操作で玉$4$が袋$\mathrm{B}$に入れられたとき，$2$回目の操作で玉$5$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$43$]}{[$44$][$45$]}$である．
(2)$1$回目の操作で玉$2$が袋$\mathrm{B}$に入れられ，かつ$2$回目の操作で玉$1$が袋$\mathrm{B}$に入れられる確率は$\displaystyle \frac{[$46$]}{[$47$][$48$]}$である．
$1 \leqq i<j \leqq 7$を満たす整数$i,\ j$に対し，$2$回の操作を行った後に袋$\mathrm{B}$に玉$i$と玉$j$が入っている事象を$B_{i,j}$とし，事象$B_{i,j}$の確率を$P(B_{i,j})$で表す．
(3)$\displaystyle P(B_{1,2})=\frac{1}{7} \times \frac{[$49$]}{11}+\frac{1}{7} \times \frac{[$50$]}{10}=\frac{[$51$]}{110}$である．同様に，
$\displaystyle P(B_{1,3})=\frac{[$52$]}{[$53$][$54$]},\quad P(B_{1,7})=\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]},$
$\displaystyle P(B_{2,3})=\frac{[$58$]}{[$59$][$60$]},\quad P(B_{2,4})=\frac{[$61$]}{[$62$][$63$]}$
である．
(4)$\comb{7}{2}$個の事象$B_{1,2},\ B_{1,3},\ \cdots,\ B_{6,7}$のうち，起こる確率が$P(B_{1,2})$であるものは$[$64$]$個，$P(B_{1,3})$であるものは$[$65$]$個，$P(B_{1,7})$であるものは$[$66$]$個，$P(B_{2,3})$であるものは$[$67$]$個，$P(B_{2,4})$であるものは$[$68$]$個である．
(5)$3$回の操作の後，袋$\mathrm{B}$に入っている玉の番号が全て偶数となる確率は$\displaystyle \frac{[$69$]}{[$70$][$71$]}$である．