「濃度」について
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私立 北海道薬科大学 2016年 第3問食塩水が$100 \, \mathrm{g}$ある．これから$20 \, \mathrm{g}$を取って捨てた後に濃度が$10 \, \%$の食塩水を$20 \, \mathrm{g}$加える．食塩水の初めの濃度を$20 \, \%$として，この操作を$n$回（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）繰り返した後の食塩水に含まれる食塩の量を$x_n \, \mathrm{g}$とする．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$x_1$は$[アイ]$である．
(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．
(1)$x_1$は$[アイ]$である．
(2)$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ウ]}{[エ]}x_n+[オ]$が成り立つ．この式を$x_{n+1}-p=q(x_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=[カキ],\quad q=\frac{[ク]}{[ケ]} \]
となる．これより
\[ x_n=[コサ]+[シス] \left( \frac{[セ]}{[ソ]} \right)^n \]
が得られる．
(3)食塩水の濃度を$11 \, \%$以下にするには，この操作を少なくとも$[タチ]$回繰り返す必要がある．
私立 東京薬科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
(1)$x^2+5x+1=0$のとき，$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき，$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である．
(3)点$(4,\ 2)$を通り，傾きが$m$の直線$\ell$が，円$C:x^2+y^2=4$に接するとき，$\displaystyle m=[ケ]$，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$，容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている．今，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し，$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ，$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ，$2$つの容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった．このとき，容器$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である．ただし，質量パーセント濃度とは溶液（本問の場合，食塩水）の質量に対する溶質（本問の場合，食塩）の質量の割合を百分率（$\%$）で表したものである．
私立 神戸薬科大学 2015年 第3問ビーカー$\mathrm{A}$に濃度$10 \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
\mon[操作] 「ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，濃度$5 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$をビーカー$\mathrm{A}$に加えてよくかき混ぜる」を考える．
この操作を$n$回続けて行ったときのビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．ただし，$\log_{10}2=0.301$，$\log_{10}3=0.477$とする．
(1)$a_1$を求めると，$a_1=[キ]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表すと，$a_{n+1}=[ク]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[ケ]$である．
(4)ビーカー$\mathrm{A}$の食塩水の濃度がはじめて$5.001 \, \%$以下となる$n$を求めると，$n=[コ]$である．
私立 京都薬科大学 2013年 第3問濃度$a \, \%$の食塩水$300 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{A}$と，濃度$b \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が入っている容器$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$より$100 \, \mathrm{g}$の食塩水をとってそれを$\mathrm{B}$に移し，よくかき混ぜた後に同量を$\mathrm{A}$に戻すとする．この操作を$n$回繰り返したときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の食塩水の濃度を求めたい．次の$[ ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に，最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である．
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後，容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$，容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする．$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ y_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる．また，$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる．
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると，
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って，数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると，
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] \]
となる．この漸化式を解くことによって，$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ x_n=[ ] \]
また，$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ y_n=[ ] \]
となる．
(1)容器$\mathrm{A}$と容器$\mathrm{B}$に，最初にあった食塩の量の和は$[$*$] \mathrm{g}$である．
(2)$n (\geqq 1)$回の操作の後，容器$\mathrm{A}$の濃度が$x_n \, \%$，容器$\mathrm{B}$の濃度が$y_n \, \%$になっていたとする．$y_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ y_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる．また，$x_n$を$x_{n-1}$と$y_{n-1}$を用いて表すと，
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] y_{n-1} \]
となる．
(3)食塩の量の和は一定であることに注意すると，
\[ [$* *$] x_n+[$***$] y_n=[$**$] x_{n-1}+[$***$] y_{n-1}=\cdots =[$*$] \]
(4)$(3)$で与えられた関係式を使って，数列$\{x_n\}$の漸化式をつくると，
\[ x_n=[ ] x_{n-1}+[ ] \]
となる．この漸化式を解くことによって，$x_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ x_n=[ ] \]
また，$y_n$を$a$と$b$および$n$を用いて表すと，
\[ y_n=[ ] \]
となる．
私立 安田女子大学 2012年 第4問$100 \, \mathrm{g}$の食塩水が入ったコップが$10$個ある．ただし，食塩水の濃度はコップごとに異なり，$1 \, \%$，$2 \, \%$，$\cdots$，$10 \, \%$が$1$個ずつとなっている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$10$個のコップの中から無作為にコップを$1$個選ぶとき，選んだ食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(2)$10$個のコップの中から無作為にコップを$2$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(3)$10$個のコップの中から無作為にコップを$3$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(1)$10$個のコップの中から無作為にコップを$1$個選ぶとき，選んだ食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(2)$10$個のコップの中から無作為にコップを$2$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(3)$10$個のコップの中から無作為にコップを$3$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
国立 福島大学 2011年 第3問以下の問いに答えなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
(1)2つの容器 A，Bがある．はじめAの容器には100gの純水が，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gが入っている．Aの3分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのち，Aをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの食塩水に含まれる食塩の重さ(g)を$w_k$とする$(k=1,\ 2,\ 3)$．$w_1,\ w_2,\ w_3$を$s$を用いて表しなさい．
(2)上記(1)の操作の後，A，Bの溶液を捨て，改めてAの容器には100gの純水を，Bの容器には濃度$s\,\%$の食塩水100gを入れる．自然数$n$について，Aの$n$分の1を捨て，捨てた量と同じ重さ(g)のBの食塩水をAの容器に移したのちAをよく混ぜる操作を考える．この操作を$k$回行った後のAの濃度を$a_k\ (\%)$とする$(1 \leqq k \leqq n)$．$1 \leqq k \leqq n-1$のとき，$a_{k+1}$と$a_k$との関係を$s$と$n$を用いて表しなさい．さらに$a_n$を求めなさい．
私立 東京女子大学 2010年 第3問濃度$12 \, \%$の食塩水$400 \, \mathrm{g}$が容器$\mathrm{A}$に入っている．
「容器$\mathrm{A}$の食塩水のうち$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，その後に濃度$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を容器$\mathrm{A}$に加えてよくかきまぜる」
という操作を$n$回行った後の容器$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．
(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$a_n<6$となるような最小の$n$を求めよ．
「容器$\mathrm{A}$の食塩水のうち$100 \, \mathrm{g}$を取り除き，その後に濃度$3 \, \%$の食塩水$100 \, \mathrm{g}$を容器$\mathrm{A}$に加えてよくかきまぜる」
という操作を$n$回行った後の容器$\mathrm{A}$の食塩水の濃度を$a_n \, \%$とする．
(1)$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$n$の式で表せ．
(3)$a_n<6$となるような最小の$n$を求めよ．