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北里大学 私立 北里大学 2016年 第1問
次の文中の$[ア]$~$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい.

(1)平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が
\[ |\overrightarrow{a|}=2,\quad |\overrightarrow{b|}=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{a|-2 \overrightarrow{b}}=2 \sqrt{2} \]
を満たすとき$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ア]$である.また$|\overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$を最小にする実数$t$の値は$\displaystyle \frac{[イ]}{[ウ]}$である.

(2)$1$次不定方程式$17x+59y=1$のすべての整数解は,$n$を任意の整数として
\[ x=59n+[エ],\quad y=-17n+[オ] \]
である.
(3)$i$を虚数単位とし,$z=-1+\sqrt{3}i$とすると,
\[ z^2=[カ]+[キ] \sqrt{3}i,\quad z^3=[ク]+[ケ] \sqrt{3}i \]
である.また,$z^n$を$n$について$1$から$9$まで足し合わせると,
\[ \sum_{n=1}^9 z^n=[コ][サ] \left( [シ]+[ス] \sqrt{3}i \right) \]
となる.
(4)$\displaystyle \log_{15}900=[セ]+\frac{[ソ]}{\log_2 [タ]+\log_2 [チ]}$である.

(5)区間$[0,\ \pi]$を定義域とする$2$つの関数$f_1(x)=\cos (x+\alpha)+d$と$f_2(x)=\cos (x-\alpha)-d$を考える.
$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4},\ d=\frac{1}{4}$のとき,これら$2$つの関数のグラフの交点の$x$座標は
\[ \sin x=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
を満足する.
また,$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$のとき,$\displaystyle d=\frac{[ト]}{[ナ]}$であればこれら$2$つの関数のグラフは,$\displaystyle x=\frac{[ニ]}{[ヌ]} \pi$で接している.
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2014年 第1問
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & a \\
1 & -1
\end{array} \right)$,$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$,$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$が$A^2+A+E=O$の関係を満足しているとき,次の問いに答えよ.ただし,$a$は実数とする.

(1)$a$の値を求めよ.
(2)$A^3$を,$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ.
(3)$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7+A^8+A^9+A^{10}$を,$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ.
(4)$A$の逆行列$A^{-1}$を,$(1)$で求めた$a$の値を用いて求めよ.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2014年 第2問
三角形$\mathrm{ABC}$において$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$,$\mathrm{AB}=c$,$\mathrm{CA}=b$,$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする.また辺$\mathrm{BC}$の延長上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{CD}=b$となるようにとり,$\angle \mathrm{ADB}=\alpha$とする.

(1)この$b,\ c$に対して$x+y=2b^2$,$xy=b^4-b^2c^2$を満足する$x,\ y$で$x>y$となるものを求めると,$(x,\ y)=[$5$]$である.
(2)線分$\mathrm{AD}$の長さの平方は$[$6$]$である.従って$\sin \alpha$の値を二重根号を用いずに,$b,\ c$で表せば$[$7$]$となり,さらにこれを$\sin \theta$で表せば$[$8$]$となる.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2013年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$とする.$2 \sin^2 \theta-3 \cos \theta-3 \geqq 0$を満足する$\theta$の範囲は$[ ]$であり,この$\theta$に対する$\tan \theta$の最大値は$[ ]$である.
(2)数字$1$のカード$1$枚,数字$3$のカード$2$枚,数字$a$($a$は$1,\ 3,\ 6$以外の正の整数)のカード$2$枚,数字$6$のカード$b$枚の中から無作為に$1$枚のカードを取り出したとき,そのカードに記された数字の期待値が$\displaystyle \frac{9}{2}$になった.このとき$(a,\ b)$の組をすべて求めると$(a,\ b)=[ ]$である.
(3)$f(x)=x^6-2x^4-x^2+2$とする.$f(x)$を整数の範囲で因数分解すると$[ ]$となり,複素数の範囲で因数分解すると$[ ]$となる.
名古屋市立大学 公立 名古屋市立大学 2013年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)$\displaystyle \int_0^\pi e^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi e^x \cos x \, dx$を求めよ.

(2)$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \sin x \, dx$および$\displaystyle \int_0^\pi xe^x \cos x \, dx$を求めよ.

(3)次の関係を満足する関数$f(x),\ g(x)$を求めよ.
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f(x)=e^x \sin x+\int_0^\pi ug(u) \, du \\ \\
g(x)=e^x \cos x+\int_0^\pi uf(u) \, du
\end{array} \right. \]
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2011年 第1問
$k$を定数とする.方程式$x^2-|x|-6=k$を満足する実数$x$がちょうど$3$個あるのは$k=[ ]$のときであり,この方程式を満足する実数$x$が存在しないのは$k$の範囲が$[ ]$のときである.
三重県立看護大学 公立 三重県立看護大学 2011年 第1問
次の$(1)$から$(8)$に答えなさい.

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように,$p$と$q$の値を求めなさい.
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について,$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように,$a$と$b$の値を求めなさい.
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい.
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい.
(5)学生$10$人が$3$台の車($\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$)に分乗する.$\mathrm{A}$に$5$人,$\mathrm{B}$に$3$人,$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか,求めなさい.
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい.
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい.
(8)$3$つの箱($\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$)に「くじ」が$10$本ずつ入っている.そのうち,「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本,$\mathrm{B}$の箱には$3$本,$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている.それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき,$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2010年 第1問
$2$つの実数$a,\ b$のうち小さくない方を$\max \{a,\ b\}$と表すことにする.

(1)$\max\{ x,\ x^2-1\}=1$を満足する$x$をすべて求めると$x=[ ]$である.
(2)$x \cdot \max\{x,\ 4-x\}-6x+5=0$を満足する$x$のうち最小のものを$\alpha$,最大のものを$\beta$とするとき,$\alpha=[ ]$,$\beta=[ ]$である.
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