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横浜国立大学 国立 横浜国立大学 2016年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log (1-x)}{x}$は$0<x<1$の範囲で減少することを示せ.
(2)極限値
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{1}{\tan \left( \displaystyle\frac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \]
を求めよ.
九州工業大学 国立 九州工業大学 2016年 第1問
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$と点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0,\ st<1)$を考える.また,$u=st$とする.点$\mathrm{P}$を通る曲線$C$の$2$本の接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とし,これらの接線と曲線$C$との接点をそれぞれ$\displaystyle \mathrm{A} \left( a,\ \frac{1}{a} \right)$,$\displaystyle \mathrm{B} \left( b,\ \frac{1}{b} \right)$とする.ただし,$a<b$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$a,\ b$を$s,\ t$を用いて表せ.
(2)$2$点$\mathrm{E}(a,\ 0)$,$\mathrm{F}(b,\ 0)$を考える.台形$\mathrm{ABFE}$の面積を$u$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$u$を用いて表せ.
(4)$(3)$で求めた$\triangle \mathrm{PAB}$の面積を$S(u)$とする.$S(u)$は区間$0<u<1$で減少することを示せ.
(5)点$\mathrm{P}$が$2$点$(3,\ 0)$,$(0,\ 1)$を結ぶ線分上の端点以外にあるものとする.このとき,$\triangle \mathrm{PAB}$の面積が最小となる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.また,そのときの面積を求めよ.
九州大学 国立 九州大学 2015年 第2問
以下の問いに答えよ.

(1)関数$\displaystyle y=\frac{1}{x(\log x)^2}$は$x>1$において単調に減少することを示せ.
(2)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$を求めよ.
(3)$n$を$3$以上の整数とするとき,不等式
\[ \sum_{k=3}^n \frac{1}{k(\log k)^2}<\frac{1}{\log 2} \]
が成り立つことを示せ.
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第5問
次の問いに答えよ.

(1)計算せよ.
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k-1)^2=\kakkofour{$101$}{$102$}{$103$}{$104$} \]
(2)計算せよ.
\[ \sum_{k=1}^{20} (-1)^{k-1}k^2=\kakkofour{$105$}{$106$}{$107$}{$108$} \]
(3)$1$から$20$までの数を$2$つの数列$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{10}$と$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{10}$に分ける.
\[ S=\sum_{k=1}^{10} a_kb_k \]
と定義し,分け方を種々考え,$S$の最小値と最大値を求めると,それぞれ
\[ [$109$][$110$][$111$],\quad \kakkofour{$112$}{$113$}{$114$}{$115$} \]
となる.(ヒント:増加数列や減少数列を考える.)
慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
銀行口座(以降,口座)から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し,そのカードを用いて支払いをおこなうものとする.口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合,その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする.

このとき,口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分,および銀行からの借入れに伴う利払い,そして口座からカードへの移転に伴う手数料,それらの合計$Z$を最小にする問題を考える.適当な仮定のもと,$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として,つぎのように表わされる.
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり,$A$は定数である.

(1)$x$を固定し,$Z$を$y$の関数と考えれば,その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである.
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し,$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる.
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である.
島根県立大学 公立 島根県立大学 2015年 第2問
$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$,$\log_{10}7=0.8451$とする.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)$3^{30}$は何桁の整数か.
(2)$3^{30}$の一の位の数字と最高位の数字を求めなさい.
(3)$\mathrm{A}$村では人口減少が続いており,毎年$2 \, \%$ずつ減少している.毎年このままの比率で人口が減少すると仮定した場合,はじめて人口が現在の半分以下になるのは何年後かを答えなさい.
北九州市立大学 公立 北九州市立大学 2015年 第4問
$1$個のサイコロを$3$回続けて投げる.$xy$平面上で,原点$\mathrm{O}$を起点とし$1$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を増加させた点を$\mathrm{A}$とする.次に,点$\mathrm{A}$を起点とし$2$回目に出た目と同じ数だけ$y$座標を増加させた点を$\mathrm{B}$とする.さらに,点$\mathrm{B}$を起点とし$3$回目に出た目と同じ数だけ$x$座標を減少させた点を$\mathrm{C}$とする.また,四角形$\mathrm{OABC}$の面積を$S$とおく.以下の問題に答えよ.

(1)四角形$\mathrm{OABC}$が正方形になる確率を求めよ.
(2)線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BC}$の長さがすべて異なる確率を求めよ.
(3)$\angle \mathrm{COA}={45}^\circ$になる確率を求めよ.
(4)面積$S$が整数になる確率を求めよ.
(5)面積$S$が$25$以上になる確率を求めよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)標高$376 \, \mathrm{m}$の地点から富士山に登りはじめた.一般に,$2$地点の大気圧の比はその$2$地点の高度差の指数関数である.この日の大気圧は,高度が$850 \, \mathrm{m}$上昇するごとに$10 \, \%$ずつ減少していた.登りはじめた地点の大気圧は$990 \, \mathrm{hPa}$であった.この日の富士山の山頂$3776 \, \mathrm{m}$での大気圧は何$\mathrm{hPa}$か.答は小数第$1$位を四捨五入し,整数で答えよ.
(2)ある店において,原価が$200$円,定価が$350$円の商品$\mathrm{A}$の$1$日の売り上げ総数を$N$とする.$\mathrm{A}$の売り値が定価通りのときには$N=35$であり,定価から原価まで売り値を$10$円下げるごとに,$N$は$5$ずつ増えることがわかっている.また,売り値は定価を超えず,原価も下回らないとする.この店での$1$日の$\mathrm{A}$の売り上げ全体の利益を最大にする売り値と,そのときの$N$を求めよ.
(3)$\log_23,\ \log_47,\ \log_828$を小さい順に並べよ.
(4)空間の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 3)$,$\mathrm{C}(-1,\ 0,\ 0)$の定める平面を$\alpha$とする.点$\mathrm{P}(2,\ 3,\ z)$が平面$\alpha$上にあるとき,$z$の値を求めよ.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2014年 第4問
関数$f(x)=4 \sin x+(\pi-2x) \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$について,次の問いに答えよ.

(1)$f^\prime(x)$,$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.
(2)$f^\prime(x)$は$0 \leqq x \leqq \pi$で減少することを示せ.
(3)$f(x)$の増減および曲線$y=f(x)$の凹凸を調べよ.
(4)曲線$y=f(x)$,$x$軸,$y$軸および直線$x=\pi$で囲まれた部分の面積を求めよ.
熊本大学 国立 熊本大学 2013年 第3問
半径$1$,中心角$\theta (0<\theta<\pi)$の扇形に内接する円の半径を$f(\theta)$とおく.以下の問いに答えよ.

(1)$f(\theta)$を求めよ.
(2)$0<\theta<\pi$の範囲で$f(\theta)$は単調に増加し,$f^\prime(\theta)$は単調に減少することを示せ.
(3)定積分
\[ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta \]
を求めよ.
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「減少」とは・・・

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