タグ「法線」の検索結果

1ページ目:全63問中1問~10問を表示)
徳島大学 国立 徳島大学 2016年 第1問
曲線$y=x^3 (x>0)$を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3)$における法線を$\ell$とし,$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする.

(1)法線$\ell$の方程式を求めよ.
(2)$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離を$t$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が曲線$C$上を動くとき,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ.
岩手大学 国立 岩手大学 2016年 第3問
$a,\ b$を定数とし,関数$f(x)=\sin 2x+a \cos x+b$とする.$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)=\sqrt{3}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$b$を$a$を用いて表せ.
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線が,点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\pi}{2}+2 \sqrt{3},\ 0 \right)$を通るとき,$a,\ b$の組をすべて求めよ.
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$で定められる$f(x)$のうち,$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極値をとるものについて考える.このとき$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において,$f(x)$のすべての極値を求めよ.
宮城教育大学 国立 宮城教育大学 2016年 第5問
点$\mathrm{P}$は$x$座標が正または$0$の範囲で放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$上を動くとする.点$\mathrm{P}$における放物線$\displaystyle y=1-\frac{x^2}{2}$の法線を$m$として,法線$m$と$x$軸とのなす角を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする.法線$m$上の点$\mathrm{Q}$は$\mathrm{PQ}=1$を満たし,不等式$\displaystyle y>1-\frac{x^2}{2}$の表す領域にあるとする.点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とし,次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)曲線$C$と$x$軸との交点の座標を求めよ.

(3)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin \theta} \, d\theta$を$t=\cos \theta$と置換することにより求めよ.

(4)不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 \theta} \, d\theta$,$\displaystyle \int \frac{1}{\sin^4 \theta} \, d\theta$を$\displaystyle t=\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$と置換することにより求めよ.

(5)曲線$C$と$x$軸および$y$軸により囲まれた図形の面積を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2016年 第5問
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2016年 第5問
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第1問
関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり,$g(x)=f^\prime(x)$,$h(x)=xf(x)$とおく.$a$を実数として,点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする.$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第1問
関数$f(x)=e^x+e^{-x}$があり,$g(x)=f^\prime(x)$,$h(x)=xf(x)$とおく.$a$を実数として,点$\mathrm{P}(a,\ f(a))$における曲線$y=f(x)$の法線を$\ell$とし,点$\mathrm{Q}(a,\ g(a))$における曲線$y=g(x)$の法線を$m$とする.$\ell$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とするとき,以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{R}$の座標を,$a$を用いて表せ.
(2)$\mathrm{PR}^2-\mathrm{QR}^2$の値を求めよ.
(3)$2$つの曲線$y=g(x)$,$y=h(x)$および直線$x=1$によって囲まれた図形を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ.
日本女子大学 私立 日本女子大学 2016年 第1問
曲線$y=\sin x$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\theta$とする.ただし,$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする.この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とおき,点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PR}$とする.このとき,$\triangle \mathrm{PQR}$の面積の最大値を求めよ.
立教大学 私立 立教大学 2016年 第2問
$a,\ b$を実数,$t$を正の実数とする.$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が,点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする.また,点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ.
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ.
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし,三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ.
同志社大学 私立 同志社大学 2016年 第1問
次の$[ ]$に適する数または式を記入せよ.

(1)初項が$a_1$で公差が$d$である等差数列$\{a_n\}$について,$a_{27}=20$,$a_{37}=15$が成り立っている.このとき,$a_1=[ア]$であり,$d=[イ]$である.したがって$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n=[ウ]$となる.
(2)$2$曲線$y=4^x (x \geqq 0)$と$y=8^x (x \geqq 0)$と直線$x=1$に囲まれた部分を$D$とする.$D$の面積は$[エ]$であり,$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[オ]$であり,$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は$[カ]$である.
(3)双曲線
\[ C:\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \]
上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{3}{\cos \theta},\ 2 \tan \theta \right) (0<\theta<\frac{\pi}{2})$における接線$\ell$の方程式は$[キ]$であり,法線$m$の方程式は$[ク]$である.また,$m$と$x$軸の交点を$(X,\ 0)$とし$m$と$y$軸の交点を$(0,\ Y)$とすると,$X$の範囲は$[ケ]$であり,$Y$の範囲は$[コ]$である.
スポンサーリンク

「法線」とは・・・

 まだこのタグの説明は執筆されていません。