タグ「比例」の検索結果

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群馬大学 国立 群馬大学 2014年 第3問
座標平面において,動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し,$C$上を反時計回りに$1$周する.弧$\mathrm{PQ}$の長さは,出発してからの時間に比例する.$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)出発してから$t$秒後($0 \leqq t \leqq T$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ.
(2)出発してから$t$秒後($\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える.$z$の最大値と最小値を求めよ.また最大値,最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ.
群馬大学 国立 群馬大学 2014年 第3問
座標平面において,動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し,$C$上を反時計回りに$1$周する.弧$\mathrm{PQ}$の長さは,出発してからの時間に比例する.$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)出発してから$t$秒後($0 \leqq t \leqq T$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ.
(2)出発してから$t$秒後($\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える.$z$の最大値と最小値を求めよ.また最大値,最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ.
群馬大学 国立 群馬大学 2014年 第2問
座標平面において,動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は単位円$C$上の点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$を出発し,$C$上を反時計回りに$1$周する.弧$\mathrm{PQ}$の長さは,出発してからの時間に比例する.$\mathrm{P}$が$1$周するのに$T$秒かかる.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)出発してから$t$秒後($0 \leqq t \leqq T$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x,\ y$を$t$と$T$を用いて表せ.
(2)出発してから$t$秒後($\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{T}{4}$)の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$z=2x^2+xy+y^2$を考える.$z$の最大値と最小値を求めよ.また最大値,最小値をとるのは出発してから何秒後か$T$を用いて表せ.
北里大学 私立 北里大学 2014年 第1問
次の文中の$[ア]$~$[ヒ]$にあてはまる最も適切な数を答えなさい.

(1)複素数$z=-1+i$を考える.ここで,$i$は虚数単位である.このとき,
\[ z+z^2+z^3+z^4=[ア]+[イ]i \]
である.また,
\[ \sum_{n=1}^{12} z^n=[ウ][エ]+[オ][カ] i \]
となる.
(2)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲における関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{3} \sin \theta+\frac{1}{2} \cos^2 \theta-\frac{2}{3}$の最小値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$,最大値は$\displaystyle \frac{[ケ]}{[コ]}$である.

(3)循環小数$0. \dot{2}01 \dot{4}$を分数で表すと,
\[ 0. \dot{2}01 \dot{4}=\frac{\kakkofour{サ}{シ}{ス}{セ}}{\kakkofour{ソ}{タ}{チ}{ツ}} \]
となる.
(4)平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$をとる.線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とすると,$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=2 |\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の軌跡は,
\[ \overrightarrow{\mathrm{MO}}=\frac{[テ]}{[ト]} \overrightarrow{\mathrm{MA}} \]
を満たす点$\mathrm{O}$を中心とする半径
\[ \frac{[ナ]}{[ニ]} |\overrightarrow{\mathrm{MA}}| \]
の円である.
(5)同じ大きさの赤玉と白玉が何個か袋に入っている.よくかきまぜた後,この袋の中から同時に$2$個の玉を取り出したとき,$2$個とも赤の確率を$p$,$2$個のうち$1$個が赤,$1$個が白の確率を$q$,$2$個とも白の確率を$r$と書くとすると,それらの比例関係は次のようになった.
\[ p:q:r=14:20:5 \]
この袋の中の赤玉の個数は$[ヌ]$,白玉の個数は$[ネ]$である.
(6)$a,\ b,\ c$は次の方程式を満たす整数とする.
\[ a \log_{10} \frac{5}{6}+b \log_{10} 15+c \log_{10} \frac{10}{9}=\log_{10} 5000 \]
このとき,$a=[ノ]$,$b=[ハ]$,$c=[ヒ]$である.
藤田保健衛生大学 私立 藤田保健衛生大学 2013年 第3問
次の問いに答えよ.

(1)$f(t)=be^{at}$($a,\ b$:定数)を微分した答えを$f(t)$を用いて表すと,
\[ \frac{d}{dt}f(t)=[ ] \qquad \cdots\cdots① \]
である.
(2)物体が水平面に対し垂直な方向に落下するものとする.デカルトは時刻$t$での物体の速度について,速度が落下距離に比例するものと考えた.これに従えば,時刻$t$での物体の落下距離を$f(t)$とし,$f(0)=x_0>0$,その比例定数を$c_0>0$とするとき,$①$を満たすような関数が$f(t)=be^{at}$の形で表わされることを用いると$f(t)=[ ]$である.
(3)一方,ガリレオは速度が落下した時間に比例すると考えた.時刻$T$で落下しはじめた物体の,時刻$t (t \geqq T)$での高さを$g(t)$とし,$g(T)=x_1>0$,その比例定数を$c_1>0$とするとき,$g(t)=[ ]$である.
大阪歯科大学 私立 大阪歯科大学 2013年 第1問
以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ.

(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき,数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる.
(2)ある宝石の価格は,その重量の$2$乗に比例するものとする.いま,価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった.$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき,損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である.
(3)赤玉$3$個,白玉$2$個,黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す.このとき,白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である.
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき,もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である.
浜松医科大学 国立 浜松医科大学 2012年 第2問
$24$時間診療業務を休みなく行う病院において,$40$日間で$1$万個使用される医療材料$\mathrm{A}$について考える.$\mathrm{A}$の使用頻度は常に一定であり,$1$日の時間帯や曜日による変動は全くないものとする.さて,病院における在庫管理では,「品切れ」が起きないこと,「コスト」をできるだけ低くすること,この$2$つが肝要である.医療材料$\mathrm{A}$の保管費は,その保管期間に比例し,$1$個につき$10$日間で$1$円である.また,納入業者に$\mathrm{A}$を注文すれば,注文量の多少に関わらず,品物が届いた時点で$200$円の事務費がかかる.なお,担当者は$\mathrm{A}$の在庫量$y$の時間的推移を把握しており,品切れになる直前という最適のタイミングで,注文した量が届くものとする.われわれは,保管費と事務費の和$S$を最小にするような注文の仕方を求める.以下の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{A}$の在庫は最初$1$万個あったとする.そして注文する量は毎回一定として,$x$で表す.このとき,時間$t$による在庫量$y$の変化を表すグラフを,横軸を時間の$t$軸とする座標平面上に図示せよ.(図示する際には,適当な$x$の値を自ら設定すること.)
以下,$1$回目の注文によって品物の届く時点以降の$y$の変化について考察する.
(2)周期的な$y$の変動に留意して,平均在庫量を求めよ.
(3)長期にわたる保管費,事務費の総額をそれぞれ見積もり,保管費と事務費の和$S$の「$1$日当たりの平均コスト」を求めよ.さらに,この$1$日当たりの平均コストを最小にするような$x$の値を求めよ.
安田女子大学 私立 安田女子大学 2012年 第4問
ある面の出る確率は,その面にしるされた目の数に比例するという六面体が$1$個あるとする.このとき,次の問いに答えよ.

(1)この六面体を$1$回投げるとき,$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$の目が出る確率をすべて求めよ.
(2)この六面体を$2$回続けて投げるとき,目の和が$10$になる確率を求めよ.
(3)この六面体を$3$回続けて投げるとき,$2$回以上$6$の目の出る確率を求めよ.
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