「正確」について
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私立 広島女学院大学 2016年 第3問下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
公立 横浜市立大学 2016年 第3問関数$y=\tan x$は，区間$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$で単調増加である．したがって，この区間で逆関数を作ることが出来る．それを
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．
\[ y=\phi(x) \quad (-\infty<x<\infty) \]
と書く（この逆関数を$\mathrm{Arctan} \ x$と書く参考書もある）．正確を期すために，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<\phi(x)<\frac{\pi}{2}$としておく．以下の問いに答えよ．ただし，「$-\infty<x<\infty$」は「$x$は実数」という意味である．
(1)関数$f(x)$を
\[ f(x)=\frac{1}{4 \sqrt{2}} \log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \left\{ \phi(\sqrt{2}x+1)+\phi(\sqrt{2}x-1) \right\} \]
とおく．$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)積分
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx \]
を求めたい．正確な値は求められないので，以下のようにする．即ち，関数$G(x)$で
\[ \int_0^1 \frac{1}{x^4+1} \, dx=G(\sqrt{2}+1) \]
となる関数を求めよ．
(3)積分の等式
\[ \int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を示せ．
(4)積分
\[ \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^4 x} \, dx \]
を求めよ．