以下の問に答えよ．

(1)$(2x-1)^7$を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2)次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数$x,\ y$について，$x^2+y^2-2xy+2x-2y+1>0$である」

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標，$y$座標をそれぞれ$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$と書く．$\mathrm{P}_x$，$\mathrm{P}_y$がともに整数であるような点$\mathrm{P}$を格子点という．次の問に答えよ．

(1)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(18,\ 12)$を結ぶ線分$\mathrm{OA}$がある．線分$\mathrm{OA}$上にある格子点の個数を求めよ．ただし両端$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$も線分$\mathrm{OA}$上の点とする．
(2)$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}(18,\ 0)$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にある格子点の個数を求めよ．
(3)$n$を正の整数とする．$2$点$\mathrm{C}(n,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ n)$を考える．格子点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{OCD}$の周または内部を動くとき$\mathrm{P}_x$の総和を$m_1$とおく．また$|\mathrm{P|_x-\mathrm{P}_y}$の総和を$n$が偶数のとき$m_2$，$n$が奇数のとき$m_3$とする．$m_1$，$m_2$，$m_3$を$n$の式で表せ．ただし解答は$an^3+bn^2+cn+d$のように$n$の次数について整理し，降べきの順（次数の高い順）に書くこと．

次の空欄ア～キに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$0 \leqq \theta < \pi$の範囲で，$\cos^2 \theta+2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta-\sin^2 \theta$の最小値は[ア]であり，そのときの$\theta$の値は[イ]である．
(2)$\displaystyle \frac{a^x-a^{-x}}{2}=1$のとき，$x=\log_a y$と表せば，$y=[ウ]$である．ただし，$a>0$，$a \neq 1$とする．
(3)さいころを$3$回投げ，出た目を順に，百の位，十の位，一の位にして$3$桁の自然数をつくる．このとき，この自然数が$6$で割り切れ，さらに桁の並びを逆にしても$6$で割り切れる確率は[エ]である．
(4)最高次の係数が$1$の整式$P(x)$で，条件$P(2)=0,\ P(0)=1,\ P(1)=2$をみたすもののうち，最も次数の低いものは$P(x)=[オ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 0)$，$\mathrm{B}(6,\ 2)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の外心の座標は$([カ],\ [キ])$である．

次の問いに答えなさい．多項式$P(x)={(1+x)}^{24}$を考える．

(1)$P(x)$の$x^2$の係数は$[$\mathrm{E]$}$である．
(2)$\comb{24}{0}-\comb{24}{1}+\comb{24}{2}-\comb{24}{3}+\cdots +\comb{24}{22}-\comb{24}{23}+\comb{24}{24}=[$\mathrm{F]$}$である．
(3)$\displaystyle Q(x)=\frac{1}{2} \left( P(x)+P(-x) \right)$とする．このとき，$Q(x)$は$P(x)$の
$\big\{$ （ア）奇数次数の項からなる． （イ）偶数次数の項からなる． （ウ）奇数次数と偶数次数の項からなる． $\bigr\}$
（ア），（イ），（ウ）の中から最も適切なものを選び，その記号を$[$\mathrm{G]$}$に記しなさい．
(4)方程式$x^3=1$の$3$つの解を$1,\ \alpha,\ \beta$とする．

(i) ${(1-\alpha)}^6=[$\mathrm{H]$}$である．
(ii) $\alpha^2-\beta=[$\mathrm{I]$}$である．
(iii) $\displaystyle \sum_{k=0}^{12} \comb{24}{2k} \beta^k$の値を$[い]$で求めなさい．
なお，必要ならば$3^{12}=531441$を使ってよい．

次の条件によって定められる関数の列$f_n(x) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える．
\begin{align}
& f_0(x)=1 \nonumber \\
& f_n(x)=1-\int_0^x tf_{n-1}(t) \, dt \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \nonumber
\end{align}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f_1(x),\ f_2(x),\ f_3(x)$を求めよ．
(2)$n \geqq 1$のとき，$f_n(x)-f_{n-1}(x)$は$x$についての次数が$2n$の単項式となることを示し，その単項式を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，不等式
\[ \frac{1}{2} \leqq f_n(1) \leqq \frac{5}{8} \]
が成り立つことを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次数が$n$の多項式$P(x)=a_0+a_1x+\cdots +a_nx^n$について$a_1=P^\prime(0)$であることを確かめよ．ただし，$P^\prime(0)$は$P(x)$の$x=0$における微分係数である．
(2)自然数$n$に対して，$f_n(x)=(x+1)(x+2) \cdots (x+n)$で与えられる$n$次多項式$f_n(x)$の$1$次の係数を$c_n$とする．$f_{n+1}(x)=(x+n+1)f_n(x)$を用いて，$c_{n+1}=n!+(n+1)c_n$が成り立つことを示せ．また，それを用いて，$\displaystyle c_n=n! \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right)$であることを示せ．

$A,\ B,\ C$が同じ次数の正方行列で，$A+B+C=O$かつ$AB=BC=CA$が成り立つとき，次の等式を証明せよ．ただし，$O$は零行列である．

(1)$A^2=B^2=C^2$
(2)$BA=CB=AC$
(3)$ABC=CBA$