$a$を定数とする．$2$曲線

$\displaystyle C_1:y=-\frac{3}{2} \cos 2x \quad (0<x<2\pi)$
$\displaystyle C_2:y=a \cos x-a-\frac{3}{4} \quad (0<x<2\pi)$

を考える．$C_1$と$C_2$は共有点をもち，ある共有点での$C_1$と$C_2$の接線は一致し，かつその傾きは$0$でないとする．次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の概形を同一座標平面上にかけ．
(3)$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

平面上に$2$つの円
\[ C_1:x^2+y^2=1,\quad C_2:\left( x+\frac{3}{2} \right)^2+y^2=\frac{1}{4} \]
があり，点$(-1,\ 0)$で接している．

点$\mathrm{P}_1$は$C_1$上を反時計周りに一定の速さで動き，点$\mathrm{P}_2$は$C_2$上を反時計周りに一定の速さで動く．二点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$はそれぞれ点$(1,\ 0)$および点$(-1,\ 0)$を時刻$0$に同時に出発する．$\mathrm{P}_1$は$C_1$を一周して時刻$2 \pi$に点$(1,\ 0)$に戻り，$\mathrm{P}_2$は$C_2$を二周して時刻$2 \pi$に点$(-1,\ 0)$に戻るものとする．$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}$とおく．
$\mathrm{P}_1$が$C_1$を一周するときの点$\mathrm{M}$の軌跡の概形を図示して，その軌跡によって囲まれる図形の面積を求めよ．

方程式$x-(y-k)^2=0$で表される曲線$C$上に動点$\mathrm{P}((t-k)^2,\ t)$があって，点$\mathrm{P}$と点$(k^2,\ 0)$との距離の$2$乗を$f(t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k>0$とする．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$f(t)$の導関数を$f^\prime(t)$とするとき，方程式$f^\prime(t)=0$の異なる実数解の個数を調べよ．
(3)$k=2$のとき，$f(t)$の極大値を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．

関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．

二つの放物線

$C_1:y=x^2$
$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{2}(x-a)^2+b$

がある．ただし，$a,\ b$は実数であり，$b>0$とする．以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$が$C_2$にも接する場合の$p$を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$(2)$より$C_1,\ C_2$の両方に接する直線が$2$本存在することがわかる．この二つの直線の交点$\mathrm{Q}$の座標を$a$と$b$を用いて表せ．
(4)放物線$C_2$の頂点が曲線$y=e^{-2x^2}$上を動くとき，交点$\mathrm{Q}$の軌跡を$y=f(x)$で表す．関数$f(x)$を求めよ．また$f(x)$の増減と凹凸を調べ軌跡の概形をかけ．

曲線$2x^2+y^2-4y=0$を$C$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)曲線$C$の概形をかきなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が曲線$C$上を動くとき，$xy$の最大値と最小値を求めなさい．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$について，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．
(2)$t>0$を媒介変数として，$x=f^\prime(t)$，$y=f(t)-tf^\prime(t)$で表される曲線の概形を描け．
(3)$(2)$の曲線の接線が$x$軸と$y$軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ．

\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

$a$を定数とし，$0 \leqq x \leqq 3$とする．関数$f(x)$を
\[ f(x)=x-6x^{\frac{1}{3}} \]
と定める．直線$y=-x+a$が曲線$y=f(x)$に接するとき，次の問に答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の概形を描け．
(4)曲線$y=f(x)$，直線$y=-x+a$および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．