「極限」について
タグ「極限」の検索結果
(9ページ目:全244問中81問~90問を表示)![高知工科大学](./img/univ/kouchikouka.png)
次の各問に答えよ.
(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ.
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け.
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ.
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする.命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ.ただし,$a \leqq b$とする.
(5)$a$を定数とし,関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする.このとき,極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ.
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ.
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ.
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
(1)$f(x)=|2x+3|$のとき$f(-3)+f(0)+f(3)$の値を求めよ.
(2)方程式$\log_2 (x-1)+\log_2 (x+2)=2$を解け.
(3)$\left\{ \begin{array}{l}
\sin x+\cos y=1 \\
\cos x+\sin y=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right.$のとき$\sin (x+y)$の値を求めよ.
(4)$a,\ b,\ x$を実数とする.命題
\[ x^2-(a+b)x+ab \leqq 0 \Longrightarrow x^2<2x+3 \]
が真となるような定数$a,\ b$の満たすべき条件を求めよ.ただし,$a \leqq b$とする.
(5)$a$を定数とし,関数$y=f(x)$は$x=a$で微分可能であるとする.このとき,極限値
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h} \]
を$f^\prime(a)$を用いて表せ.
(6)関数$f(x)=\log | \cos x |$の導関数を求めよ.
(7)$2$つの曲線$y=\log x$と$y=ax^2$とがただ$1$つの共有点をもつような正の定数$a$の値を求めよ.
(8)等式$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{2x^2+a}-x-1}{(x-1)^2}=b$が成り立つような定数$a,\ b$の値を求めよ.
![九州歯科大学](./img/univ/kyushushika.png)
$\{a_n\}$を初項$a_1=A$,公差$d$の等差数列とする.自然数$j$と$k$に対して
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく.$S(1,\ 10)=800$,$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき,次の問いに答えよ.ただし,$j<k$とする.
(1)定数$A$と$d$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ.
(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ.
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ.
\[ S(j,\ k)=\sum_{i=j}^k a_i=a_j+a_{j+1}+a_{j+2}+\cdots +a_k \]
とおく.$S(1,\ 10)=800$,$S(11,\ 20)=200$が成り立つとき,次の問いに答えよ.ただし,$j<k$とする.
(1)定数$A$と$d$の値を求めよ.
(2)$\displaystyle \frac{S(n+1,\ n^2)}{n(n-1)}=\alpha n^2+\beta n+\gamma$をみたす定数$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の値を求めよ.
(3)$S(n+1,\ n^2)<0$となる$n$の最小値$N$の値を求めよ.
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n a_{5i}$とおくとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(T_n)^2}{S(n+1,\ n^2)}$の値を求めよ.
![広島市立大学](./img/univ/hiroshimashiritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)次の関数の導関数を求めよ.
\[ y=x^2 2^{\frac{1}{x}} \]
(2)次の定積分を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^1 e^{-\sqrt{1-x}} \, dx$
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^9}{n^{10}}+\frac{2^9}{n^{10}}+\frac{3^9}{n^{10}}+\cdots +\frac{n^9}{n^{10}} \right) \]
(1)次の関数の導関数を求めよ.
\[ y=x^2 2^{\frac{1}{x}} \]
(2)次の定積分を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
(ii) $\displaystyle \int_0^1 e^{-\sqrt{1-x}} \, dx$
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^9}{n^{10}}+\frac{2^9}{n^{10}}+\frac{3^9}{n^{10}}+\cdots +\frac{n^9}{n^{10}} \right) \]
![岐阜薬科大学](./img/univ/gihuyakka.png)
次の問いに答えよ.ただし,$n$は自然数とする.
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ.ただし,$\log$は自然対数とする.
(2)$(1)$の不等式を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]
(1)不等式$\displaystyle \frac{1}{n+1}<\log \left( 1+\frac{1}{n} \right)<\frac{1}{n}$を証明せよ.ただし,$\log$は自然対数とする.
(2)$(1)$の不等式を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n} \right) \]
(3)$(1)$の不等式を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(4)区分求積法を使って,次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) \]
(5)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n} \right) \]
![会津大学](./img/univ/aizu.png)
次の空欄をうめよ.
(1)次の積分を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である.
(4)$0 \leqq x<2\pi$において,$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき,最大値$[ト]$をとる.
(5)以下の文章に「必要条件である」,「十分条件である」,「必要十分条件である」,「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ.ただし,$n$は自然数とする.
(i) $n$が$6$の倍数であることは,$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$.
(ii) $n$が奇数であることは,$n^2$が奇数であるための$[リ]$.
(1)次の積分を求めよ.
(i) $\displaystyle \int_0^1 \log (2x+1) \, dx=[イ]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx=[ロ]$
(iii) $\displaystyle \int_0^\pi |\sin 2x| \, dx=[ハ]$
(2)次の極限を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\cdots +\frac{1}{n(n+2)} \right)=[ニ] \]
(3)方程式$\displaystyle \log_2 (x-10)=3+\log_2 \frac{3}{x}$の解は$x=[ホ]$である.
(4)$0 \leqq x<2\pi$において,$-\sin x+\sqrt{3} \cos x$は$x=[ヘ]$のとき,最大値$[ト]$をとる.
(5)以下の文章に「必要条件である」,「十分条件である」,「必要十分条件である」,「必要条件でも十分条件でもない」のうち最も適するものを入れよ.ただし,$n$は自然数とする.
(i) $n$が$6$の倍数であることは,$n$が$3$の倍数であるための$[チ]$.
(ii) $n$が奇数であることは,$n^2$が奇数であるための$[リ]$.
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
次の問いに答えよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,$\displaystyle x-\frac{x^2}{2} \leqq \log (1+x) \leqq x$が成り立つことを示せ.
(2)自然数$n$に対して,
\[ S_n=\log (n \sqrt{n}+1)+\log (n \sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n \sqrt{n}+\sqrt{n})-n \log (n \sqrt{n}) \]
と定めるとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ.
(1)$x \geqq 0$のとき,$\displaystyle x-\frac{x^2}{2} \leqq \log (1+x) \leqq x$が成り立つことを示せ.
(2)自然数$n$に対して,
\[ S_n=\log (n \sqrt{n}+1)+\log (n \sqrt{n}+\sqrt{2})+\cdots +\log (n \sqrt{n}+\sqrt{n})-n \log (n \sqrt{n}) \]
と定めるとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ.
![大阪府立大学](./img/univ/osakahuritsu.png)
$a>0$,$b>0$とし,座標平面において,双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする.曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする.ただし,$p>0$,$q>0$とする.また,漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし,接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.原点を$\mathrm{O}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
![埼玉大学](./img/univ/saitama.png)
$a_1=3$,$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5a_n-4}{2a_n-1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定義される数列$\{a_n\}$について,以下の問いに答えよ.
(1)すべての自然数$n$に対し,$a_n>2$であることを示せ.
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく.数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1)すべての自然数$n$に対し,$a_n>2$であることを示せ.
(2)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n-2}$とおく.数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
$xy$平面の$y \geqq 0$の部分にあり,$x$軸に接する円の列$C_1,\ C_2,\ C_3,\ \cdots$を次のように定める.
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で,互いに外接する.
正の整数$n$に対し,$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し,$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある.
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする.
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ.
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように,$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ.
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め,そのときの極限値を求めよ.
\begin{itemize}
$C_1$と$C_2$は半径$1$の円で,互いに外接する.
正の整数$n$に対し,$C_{n+2}$は$C_n$と$C_{n+1}$に外接し,$C_n$と$C_{n+1}$の弧および$x$軸で囲まれる部分にある.
\end{itemize}
円$C_n$の半径を$r_n$とする.
(1)等式$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_n}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}$を示せ.
(2)すべての正の整数$n$に対して$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_n}}=s \alpha^n+t \beta^n$が成り立つように,$n$によらない定数$\alpha,\ \beta,\ s,\ t$の値を一組与えよ.
(3)$n \to \infty$のとき数列$\displaystyle \left\{ \frac{r_n}{k^n} \right\}$が正の値に収束するように実数$k$の値を定め,そのときの極限値を求めよ.
![大阪大学](./img/univ/osaka.png)
半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している.互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個($n \geqq 3$)の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり,次の条件(ア),(イ)を満たす.
\mon[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
\mon[(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ.
\mon[(ア)] $T_i$は$S_1$,$S_2$にそれぞれ$1$点で接している($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$).
\mon[(イ)] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており($i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$),そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している.
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし,$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき,極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ.