「極限」について
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国立 徳島大学 2010年 第4問数列$\{a_n\}$が$\displaystyle a_1=2,\ a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められるとき，次の問いに答えよ．
(1)$a_n>1$を示せ．
(2)$\displaystyle |a_{n+1}-\sqrt{2}| \leqq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|a_n-\sqrt{2}|$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
(1)$a_n>1$を示せ．
(2)$\displaystyle |a_{n+1}-\sqrt{2}| \leqq \frac{\sqrt{2}-1}{2}|a_n-\sqrt{2}|$を示せ．
(3)数列$\{a_n\}$の極限値を求めよ．
国立 大阪教育大学 2010年 第4問点Pは数直線上の原点から出発して，「確率$p$で$+1$，確率$1-p$で$+2$」の移動を繰り返す．ただし$0 \leqq p \leqq 1$とする．このような移動を繰り返して自然数$n$の点に到達する確率を$p_n$と表す．次の問に答えよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
(1)$p_1,\ p_2,\ p_3$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2}$の間の関係式を求めよ．
(3)$a_n=p_{n+1}-p_n \ (n \geqq 1)$とおくとき，数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を求めよ．
(4)$p$と$n$を用いて，一般項$p_n$を表せ．
(5)数列$\{p_n\}$の極限を調べよ．
国立 東京農工大学 2010年 第2問$a,\ b$を実数とする．行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
-5 & -3 \\
6 & 4
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
1& 0 \\
0 & -2
\end{array} \right),\quad P=\left( \begin{array}{cc}
-1 & -1 \\
a & b
\end{array} \right) \]
について次の問いに答えよ．
(1)$AP=PB$を満たすように実数$a,\ b$を定めよ．
(2)正の整数$n$について$A^n$を求めよ．
(3)$A^n$の成分のうち最大のものを$a_n$とする．$a_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k-1}+2a_{2k})r^k$とおく．数列$\{S_n\}$が収束するような実数$r$の範囲を求め，そのときの極限値$S=\lim_{n \to \infty}S_n$を$r$の式で表せ．
国立 滋賀医科大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．
\[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \]
ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2)(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ．
\[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3)(2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値
\[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \]
を求めよ．
(1)$a$を実数の定数，$f(x)$をすべての点で微分可能な関数とする．このとき次の等式を示せ．
\[ f^\prime(x)+af(x)=e^{-ax}(e^{ax}f(x))^\prime \]
ただし，$^\prime$は$x$についての微分を表す．
(2)(1)の等式を利用して，次の式を満たす関数$f(x)$で，$f(0)=0$となるものを求めよ．
\[ f^\prime(x)+2f(x)=\cos x \]
(3)(2)で求めた関数$f(x)$に対して，数列$\displaystyle \left\{ |f(n \pi)| \right\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の極限値
\[ \lim_{n \to \infty} |f(n \pi)| \]
を求めよ．
国立 浜松医科大学 2010年 第3問座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る．$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする．次に，$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし，$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする．以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．
国立 山梨大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)第$n$項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\[ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5^n+2^{2n}} \]
(2)次の関数を微分せよ．$f(x)=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{x-1}{x^2+3} \right)^3}$
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin (2x-\frac{\pi}{4}) \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$を求めよ．
(1)第$n$項が次の式で表される数列の極限を求めよ．
\[ \frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+2})(5^{n+2}+2^{2n-1})}{5^n+2^{2n}} \]
(2)次の関数を微分せよ．$f(x)=\sqrt{\left( \displaystyle\frac{x-1}{x^2+3} \right)^3}$
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin (2x-\frac{\pi}{4}) \, dx$を求めよ．
(4)定積分$\displaystyle \int_0^4 \frac{x}{\sqrt{2x+1}} \, dx$を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第1問次の[\phantom{ア]}にあてはまる数，数式または文字等を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
(1)極限
\[ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)} \]
の値は$[ア]$である．
(2)ある囲碁大会で，$5$つの地区から男女が各$1$人ずつ選抜されて，男性$5$人と女性$5$人のそれぞれが異性を相手とする対戦を$1$回行う．その対戦組み合わせを無作為な方法で決めるとき，同じ地区同士の対戦が含まれない組み合わせが起こる確率は$[イ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{BQ}$と直線$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$をベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表すと$[ウ]$である．
(4)関数
\[ y= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}+1} \]
の逆関数を表す式は$y= [エ]$で，その定義域は$[オ]$である．
私立 津田塾大学 2010年 第4問$x \geqq 0$の範囲で関数$y=\sqrt{x}e^{-x}$のグラフを$C$とする．
(1)$C$の概形を描け．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$は証明せずに使ってよい．
(2)$M>0$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体のうち，$x \leqq M$の部分の体積$V(M)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{M \to \infty}V(M)$を求めよ．
(1)$C$の概形を描け．ただし$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}e^{-x}=0$は証明せずに使ってよい．
(2)$M>0$とする．曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体のうち，$x \leqq M$の部分の体積$V(M)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{M \to \infty}V(M)$を求めよ．
公立 首都大学東京 2010年 第2問長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周を点$\mathrm{A} = \mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{n-1},\ \mathrm{P}_n = \mathrm{B}$で$n$等分する．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
(1)三角形$\mathrm{AP}_k \mathrm{B}$の三辺の長さの和$\mathrm{AP}_k + \mathrm{P}_k \mathrm{B}+ \mathrm{BA}$を$l_n(k)$とおく．$l_n(k)$を求めなさい．
(2)極限値$\displaystyle \alpha = \lim_{n \to \infty} \frac{l_n(1) +l_n(2) + \cdots + l_n(n)}{n}$を求めなさい．
公立 大阪府立大学 2010年 第1問次の問いに答えよ．
(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(3)$a$を正の実数とするとき，極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ．
(1)次の関係式を満たす数列$\{a_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[(i)] $\displaystyle a_1=\frac{1}{4}, a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
\mon[(ii)] $a_1=1, a_{n+1}=2a_n+3^n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
(2)行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が
\[ A^2-97A+2010E=O \]
を満たすとき，$a+d,\ ad-bc$の値の組をすべて求めよ．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とする．
(3)$a$を正の実数とするとき，極限値
\[ b=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a+(n+2)^a+\cdots +(n+n)^a}{1^a+2^a+\cdots +n^a} \]
を求めよ．