「極限」について
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(2ページ目:全244問中11問~20問を表示)![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
$0<p<1$とする.
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$に対して,次の問に答えよ.
(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}=(1-p)a_{n+1}+pa_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列$\{a_n\}$に対して,次の問に答えよ.
(1)$b_n=a_{n+1}-a_n$とおくとき,数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
![佐賀大学](./img/univ/saga.png)
複素数平面上の点$z$に対して
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
\[ w=\frac{3(1-i)z-2i}{z+3(1-i)} \]
で表される点$w$をとる.このとき,次の問に答えよ.
(1)$w=z$となるような点$z$は$2$つある.これらを求めよ.
(2)$(1)$で求めた異なる$2$点を$\alpha,\ \beta$とする.ただし,$0 \leqq \arg{\alpha}<\arg{\beta}<2\pi$とする.$z$が$\alpha,\ \beta$と異なる点であるとき,
\[ \frac{w-\beta}{w-\alpha}=k \cdot \frac{z-\beta}{z-\alpha} \]
となるような定数$k$の値を求めよ.
(3)複素数$z_n$を
\[ z_1=0,\quad z_{n+1}=\frac{3(1-i)z_n-2i}{z_n+3(1-i)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める.また,$z_n$の実部と虚部をそれぞれ$x_n,\ y_n$とする.このとき,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ.さらに,数列$\{x_n\},\ \{y_n\}$の極限を求めよ.
![琉球大学](./img/univ/ryukyu.png)
次の問いに答えよ.
(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ.
(2)$x>0$のとき,不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ.
(1)自然数$n$に対して$\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x} \, dx$を求めよ.
(2)$x>0$のとき,不等式$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log (1+x)<x$が成り立つことを示せ.
(3)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{\frac{1}{n}}^{\frac{2}{n}} \frac{1}{x+\log (1+x)} \, dx$を求めよ.
![鹿児島大学](./img/univ/kagoshima.png)
関数$f(x)=(\log x)^2-\log x (x>0)$を考える.次の各問いに答えよ.
(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ.また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし関数$y=f(x)$の増減,凹凸,極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること.
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(1)$f(x)=0$を満たす$x$をすべて求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$および$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$をそれぞれ求めよ.また関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け.ただし関数$y=f(x)$の増減,凹凸,極限$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$を明示すること.
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![浜松医科大学](./img/univ/hamamatsuika.png)
以下の問いに答えよ.なお,必要があれば以下の極限値の公式を用いてもよい.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(2)$a$を正の実数とし,$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える.
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ.ただし$a \neq x$とする.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}=0 \]
(1)方程式$2^x=x^2 (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(2)$a$を正の実数とし,$x$についての方程式$a^x=x^a (x>0)$を考える.
(i) 方程式$a^x=x^a (x>0)$の実数解の個数を求めよ.
(ii) 方程式$a^x=x^a (x>0)$で$a,\ x$がともに正の整数となる$a,\ x$の組$(a,\ x)$をすべて求めよ.ただし$a \neq x$とする.
![秋田大学](./img/univ/akita.png)
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 1)$をとり,$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の第$1$象限にある部分を$C$とする.$3$点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{Q}(x_2,\ y_2)$,$\mathrm{R}$は$C$の周上にあり,$2y_1=y_2$および$\angle \mathrm{AOP}=4 \angle \mathrm{AOR}$を満たすものとする.直線$\mathrm{OQ}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{Q}^\prime$,直線$\mathrm{OR}$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{R}^\prime$とする.$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とするとき,次の問いに答えよ.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{Q}^\prime$と点$\mathrm{R}^\prime$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3)点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{A}$に限りなく近づくとき,$\displaystyle \frac{\mathrm{BR}^\prime}{\mathrm{BQ}^\prime}$の極限を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1$であることは用いてよい.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
![宇都宮大学](./img/univ/utsunomiya.png)
座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\sin \pi x \left( 0<x<\frac{1}{2} \right)$の上に点$\mathrm{P}(a,\ \sin \pi a)$をとる.点$\mathrm{P}$における$C$の接線と法線をそれぞれ$\ell$,$m$とする.$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}(0,\ q)$,$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}(r,\ 0)$とし,点$\mathrm{P}$から$y$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.
(1)接線$\ell$の方程式を求め,$q$を$a$を用いて表せ.
(2)法線$m$の方程式を求め,$r$を$a$を用いて表せ.
(3)曲線$C$,直線$m$,および$x$軸によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$を用いて表せ.
(4)$\triangle \mathrm{PQH}$の面積を$T(a)$とする.極限値$\displaystyle \lim_{a \to 0} \frac{S(a)}{T(a)}$を求めよ.