「極限」について
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(11ページ目:全244問中101問~110問を表示)![山口大学](./img/univ/yamaguchi.png)
一般項が$\displaystyle a_n=\tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$で与えられる数列$\{a_n\}$について,次の問いに答えなさい.
(1)正接の$2$倍角の公式$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$を用いて,数列$\{a_n\}$の漸化式を求めなさい.
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$を求めなさい.
(1)正接の$2$倍角の公式$\displaystyle \tan 2\theta=\frac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$を用いて,数列$\{a_n\}$の漸化式を求めなさい.
(2)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$を求めなさい.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
以下の各問に答えよ.
(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ.ただし,$i$は虚数単位である.
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ.
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする.関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ.
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ.
(1)$\displaystyle \frac{{(1+i)}^3}{-2+3i}=a+bi$を満たす実数$a,\ b$を求めよ.ただし,$i$は虚数単位である.
(2)$3$つの行列の積$\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
4 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
1 \\
4
\end{array} \right) \left( \begin{array}{cc}
2 & 3
\end{array} \right)$を計算せよ.
(3)$f(x)={(x+4)}^{\frac{5}{6}}{(3x+2)}^{\frac{4}{3}}$とする.関数$f(x)$の$x=0$における微分係数$f^\prime(0)$を求めよ.
(4)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \cos \frac{k \pi}{3n}$を求めよ.
![茨城大学](./img/univ/ibaraki.png)
$A,\ E$はそれぞれ行列$\left( \begin{array}{cc}
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$,$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す.以下の各問に答えよ.
(1)$A(A+2E)=a_1(A+2E)$,$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$,$b_1$を求めよ.
(2)各自然数$n$に対して
\[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \]
となる数$a_n,\ b_n$を求めよ.
(3)各自然数$n$に対して,$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ.
(5)各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ.
2 & 4 \\
1 & -1
\end{array} \right)$,$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を表す.以下の各問に答えよ.
(1)$A(A+2E)=a_1(A+2E)$,$A(A-3E)=b_1(A-3E)$となる数$a_1$,$b_1$を求めよ.
(2)各自然数$n$に対して
\[ A^n(A+2E)=a_n(A+2E),\quad A^n(A-3E)=b_n(A-3E) \]
となる数$a_n,\ b_n$を求めよ.
(3)各自然数$n$に対して,$A^n=c_nA+d_nE$となる数$c_n,\ d_n$を求めよ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{d_1+d_2+\cdots +d_n}{a_n}$を求めよ.
(5)各自然数$n$に対して$c_n$は整数であることを示せ.
![宮崎大学](./img/univ/miyazaki.png)
座標平面において,$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という.$n$を自然数とし,放物線$y=x^2$,直線$x=n$および$x$軸で囲まれた図形を$S_n$とする.$S_n$の境界上にある格子点の個数を$a_n$とし,$S_n$の境界を除いた内部にある格子点の個数を$b_n$とするとき,次の各問に答えよ.
(1)$a_n$を,$n$を用いて表せ.
(2)$b_n$を,$n$を用いて表せ.
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ.
(1)$a_n$を,$n$を用いて表せ.
(2)$b_n$を,$n$を用いて表せ.
(3)$S_n$の面積を$c_n$とするとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \frac{a_n}{2}+b_n-c_n \right)$を求めよ.
![電気通信大学](./img/univ/dentsu.png)
関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-2}{e^x+2}$について,以下の問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$をそれぞれ求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$を$C$とするとき,$C$の変曲点の座標を求めよ.
(4)曲線$C$の変曲点における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(5)曲線$C$,$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)$,$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)$をそれぞれ求めよ.
(2)導関数$f^\prime(x)$および第$2$次導関数$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ.
(3)曲線$y=f(x)$を$C$とするとき,$C$の変曲点の座標を求めよ.
(4)曲線$C$の変曲点における接線$\ell$の方程式を求めよ.
(5)曲線$C$,$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
![電気通信大学](./img/univ/dentsu.png)
次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ.
(2)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ.
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=\frac{2n(n+1)}{3n-a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,以下の問いに答えよ.
(1)不等式$a_n<n$を数学的帰納法によって証明せよ.
(2)数列$\{b_n\}$を$\displaystyle b_n=\frac{n}{n-a_n} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定める.$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ.
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ.
(5)極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n}$および$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_2a_3a_4 \cdots a_n}{n!}$を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
$a,\ b$は,$0<b<a$を満たす実数とする.曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$,点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく.また,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする.連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$,連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし,$R=e^{-b}S_2$とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1)$p(a)$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ.
(3)$t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5)$b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$,連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし,$R=e^{-b}S_2$とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1)$p(a)$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ.
(3)$t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5)$b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
$a,\ b$は,$0<b<a$を満たす実数とする.曲線$y=e^x$上の点$(0,\ 1)$における接線$\ell_1$の方程式を$y=f(x)$,点$(a,\ e^a)$における接線$\ell_2$の方程式を$y=g(x)$とおく.また,$\ell_1$と$\ell_2$の交点の$x$座標を$p(a)$とする.連立不等式
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$,連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし,$R=e^{-b}S_2$とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1)$p(a)$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ.
(3)$t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5)$b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
\[ 0 \leqq x \leqq b,\quad f(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_1$,連立不等式
\[ b \leqq x \leqq a,\quad g(x) \leqq y \leqq e^x \]
の表す領域の面積を$S_2$とし,$R=e^{-b}S_2$とおく.このとき,次の問いに答えよ.必要ならば,すべての自然数$k$に対して$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^ke^{-x}=0$が成り立つことを用いてよい.
(1)$p(a)$を求めよ.
(2)$S_1$と$S_2$を求めよ.
(3)$t=a-b$とする.$R$を$t$のみの関数として表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} (a-p(a))$を求めよ.
(5)$b=p(a)$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ.
![愛媛大学](./img/univ/ehime.png)
次の問いに答えよ.
(1)すべての実数$x$に対して
\[ f(x)=\sin \pi x+\int_0^1 tf(t) \, dt \]
が成り立つような関数$f(x)$を求めよ.
(2)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\tan \theta-\sin \theta} \]
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \]
(4)関数$f(x)=|x| (e^x+a)$は$x=0$において微分可能であるとする.このとき,定数$a$の値を求めよ.
(1)すべての実数$x$に対して
\[ f(x)=\sin \pi x+\int_0^1 tf(t) \, dt \]
が成り立つような関数$f(x)$を求めよ.
(2)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta^3}{\tan \theta-\sin \theta} \]
(3)次の極限値を求めよ.
\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \]
(4)関数$f(x)=|x| (e^x+a)$は$x=0$において微分可能であるとする.このとき,定数$a$の値を求めよ.
![産業医科大学](./img/univ/sangyouika.png)
行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について,次の問いに答えなさい.
(1)自然数$n$について,$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい.
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい.
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について,次の問いに答えなさい.
(1)自然数$n$について,$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき,極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい.
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい.