「極小」について
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国立 帯広畜産大学 2016年 第2問関数$f(x)=x^2-4x+5$を用いて，放物線$C:y=f(x)$が定義されている．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とし，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と$x$軸上の点$\mathrm{Q}(t,\ 0)$を考える．ただし，$t>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
(1)線分$\mathrm{OQ}$と線分$\mathrm{PQ}$の長さの和を$t$の関数として$L(t)$で表す．
(i) $L(t)$を$t$の式で表しなさい．
(ii) $L(t)$が最小値をとるとき，$t$と$L(t)$の値をそれぞれ求めなさい．
(2)放物線$C$の頂点を$\mathrm{A}$とする．
(i) 点$\mathrm{A}$の座標を求めなさい．
(ii) 直線$\mathrm{OP}$が点$\mathrm{A}$を通るとき，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(iii) 直線$\mathrm{OP}$が放物線$C$の接線となるとき，$t$の値と直線$\mathrm{OP}$の方程式を求めなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$t$の関数として$S_1(t)$で表す．また，直線$\mathrm{OP}$と放物線$C$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$t$の関数として$S_2(t)$で表す．ただし，$0<t \leqq 2$とする．
(i) $S_1(t)$を$t$の式で表しなさい．また，関数$S_1(t)$の導関数$S_1^\prime(t)$を求めなさい．
(ii) $S_1(t)$の極大点と極小点をそれぞれ求めなさい．
(iii) $S_2(t)$の最大値を求めなさい．
国立 愛媛大学 2015年 第3問$a$を自然数とし，関数$f(x)=x^3+2x^2+ax+4$は$x=x_1$で極大，$x=x_2$で極小になるものとする．また，曲線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,\ f(x_1))$，$\mathrm{Q}(x_2,\ f(x_2))$の中点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．
(1)$a=1$であることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$は曲線$y=f(x)$上にあることを示せ．
(4)点$\mathrm{R}$における曲線$y=f(x)$の接線は，点$\mathrm{R}$以外に$y=f(x)$との共有点をもたないことを示せ．
国立 帯広畜産大学 2015年 第2問関数$f(x)=ax^2+bx+c$を用いて，関数$g(x)$が
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[ ]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．
(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．
(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．
(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．
\[ g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
-ax^2+1 & \displaystyle\left( x<\frac{\sqrt{a}}{a} \right) \\
f(x) & \displaystyle\left( x \geqq \frac{\sqrt{a}}{a} \right) \phantom{\frac{[ ]^{\mkakko{}}}{2}}
\end{array} \right. \]
で定義されている．ただし，$a,\ b,\ c$は定数で，$a>0$とする．次の各問に答えなさい．
(1)関数$f(x)$の導関数を求めなさい．
(2)曲線$C_1:y=f(x)$は点$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{a}}{a},\ 0 \right)$を通り，この点における曲線$C_1$の接線の傾きは$-2 \sqrt{a}$であるとする．
(i) $b$を$a$の式で表しなさい．また，$c$の値を求めなさい．
(ii) 関数$g(x)$が$x=4$で極小になるように，$a$の値を定めなさい．
(3)曲線$C_2:y=g(x)$は$2$点$(2,\ -1)$，$(3,\ 0)$を通る．また，曲線$C_2$と直線$L:y=tx$で囲まれる部分の面積を$t$の関数として$S(t)$で表す．ただし，$a=1$，$0 \leqq t \leqq 2$とする．このとき，$S(t)$の導関数の値は正である．
(i) $b,\ c$の値をそれぞれ求めなさい．
(ii) $S(t)$の最小値を求めなさい．
(iii) $S(t)$が最大値をとるとき，曲線$C_2$と直線$L$のすべての交点の座標を求めなさい．また，$S(t)$の最大値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小，$x=a>0$で極大になるとする．また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする．$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく．もし$3$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$，$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．
私立 慶應義塾大学 2015年 第6問$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．
(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．
(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第1問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
国立 高知大学 2014年 第4問$f(x)=x(x-1)(x+1)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
(1)関数$y=f(x)$が極大，極小になるときの$x$と，その極大値，極小値を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)$x$が$\displaystyle |x-1|<\frac{1}{2}$をみたすとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$3$の円の内部に含まれることを示せ．
(4)$1$以下の正の数$r$に対して，$x$が$|x-1|<r$の範囲を動くとき，点$(x,\ f(x))$は点$(1,\ 0)$を中心とする半径$10r$の円の内部に含まれることを示せ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第2問$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数$F(x)$を
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
\[ F(x)=\frac{1}{3}x^3+ax^2+bx+c \]
と定め，
\[ f(x)=F^\prime(x) \]
とおく．関数$F(x)$は$x=\alpha$において極大に，$x=\beta$において極小になるとする．点$(\alpha,\ f(\alpha))$，$(\beta,\ f(\beta))$における曲線$y=f(x)$の接線をそれぞれ$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とする．
(1)直線$\ell_\alpha$と$\ell_\beta$の交点の座標は
\[ \left( \frac{[$15$]}{[$16$]} \alpha+\frac{[$17$]}{[$18$]} \beta,\ \frac{[$19$][$20$]}{[$21$]} (\beta-\alpha)^2 \right) \]
である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$\ell_\alpha$，$\ell_\beta$とで囲まれた図形の面積を$S$とすると，
\[ S=\frac{[$22$]}{[$23$][$24$]} (\beta-\alpha)^3 \]
である．必要なら次の公式を使ってよい．$r$を実数とすると
\[ \int (x+r)^2 \, dx=\frac{1}{3}(x+r)^3+C \quad (C \text{は定数}) \]
(3)実数$a,\ b$が不等式
\[ 0 \leqq a \leqq 2,\quad 2a-4 \leqq b \leqq 2a-2 \]
をみたす範囲を動くとき，$S$の最大値は$\displaystyle \frac{[$25$][$26$]}{[$27$]}$，最小値は$\displaystyle \frac{[$28$][$29$]}{[$30$]}$である．
公立 会津大学 2014年 第5問$a,\ b$を実数の定数とする．関数$f(x)=-x^3+3x^2+ax+b$について，以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．
(1)$f(x)$が極大値と極小値をもつための条件を求めよ．
(2)$f(x)$が$x=p$で極大，$x=q$で極小となり，かつ$p^2+q^2=10$が成り立つとする．このとき，$a,\ p,\ q$の値を求めよ．
(3)$(2)$において，方程式$f(x)=0$が異なる$3$つの実数解をもつための条件を求めよ．
国立 熊本大学 2013年 第2問$f(x)$を$x=-1$で極大，$x=2$で極小となる$3$次関数で
\[ \int_0^2 f^\prime(x) \, dx=-5 \]
を満たすものとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差を求めよ．
\[ \int_0^2 f^\prime(x) \, dx=-5 \]
を満たすものとする．以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値の差を求めよ．