3次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$について次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が$x=\alpha$で極大値を，$x=\beta$で極小値を持ち，$f(\alpha)-f(\beta)=4$とする．

\mon[(i)] $\beta-\alpha$を$a,\ b$の式で表せ．
\mon[(ii)] $a,\ b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

(2)曲線$y=f(x)$に点$(0,\ 8)$から引いた接線の本数がちょうど2本あるとする．

\mon[(i)] $x=t$における接線の方程式を求めよ．
\mon[(ii)] $a$の値を求めよ．

(3)(1)，(2)がともに成り立つとき，2本の接線をそれぞれ求めよ．
(4)(3)で求めた2本の接線と曲線$y=f(x)$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$p>0$は定数とし，$f(x)=x^3-px$とする．$f(x)$は$x=a$で極小値$m$を，$x=b$で極大値$M$をとるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ m,\ M$をそれぞれ$p$を用いて表せ．
(2)直線$y=m$および$y=M$と曲線$y=f(x)$との$(a,\ m)$，$(b,\ M)$以外での交点をそれぞれ$(c,\ m)$，$(d,\ M)$とする．このとき$c,\ d$をそれぞれ$p$を用いて表せ．

$k$を実数とする．$3$次関数
\[ f(x) = -x^3 + kx^2 +kx +1 \]
が$x=\alpha$で極小値をとり，$x=\beta$で極大値をとる．$3$点$\mathrm{A}(\alpha,\ f(\alpha))$，$\mathrm{B}(\beta,\ f(\beta))$，$\mathrm{C}(\beta,\ f(\alpha))$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{[テ]}{3}k, \quad \alpha\beta = \frac{[ト]}{3}k \]
である．したがって，
\[ k= \frac{[ナ] \pm [ニ]\sqrt{[ヌ]}}{2} \]
となる．ただし，[ニ]は自然数，[ヌ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

$t$を実数の定数として，$x$の$3$次関数
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3-2^tx^2+(4^t-4^{-t})x \]
を考える．$f(x)$は$x=\alpha$において極大値を，$x=\beta$において極小値をとるとする．

(1)$\alpha,\ \beta$を$t$のなるべく簡単な式で表せ．
(2)$\alpha,\ \beta$が$\alpha\beta=1$を満たすとき
\[ t= \frac{1}{2} \left\{ \log_2 \left([(a)]+\sqrt{[(b)]}\right)-[(c)] \right\} \]
である．(a),\ (b),\ (c)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．
(3)$\alpha,\ \beta$が$\beta-\alpha \geqq 12$を満たすときの$t$の値の範囲は
\[ t \leqq - [(d)] \log_2 [(e)] -1 \]
である．(d),\ (e)にあてはまる$1$桁の自然数を求めよ．

実数係数の$x$の多項式で表された関数$f(x)$は，導関数$f^{\prime}(x)$がすべての実数$x$に対して
$f^\prime (x)>0$をみたし，かつ，$f^\prime (x)$は極大値をもつとする．実数$s$に対して，点$(s,\ f(s))$における曲線$y=f(x)$の接線と$x$軸との交点の$x$座標を$s$の関数として$g(s)$と表す．

(1)導関数$g^\prime(s)$を求めよ．
(2)関数$g(s)$は極大値と極小値をもつことを示せ．

$f(x)=x^3-48x,\ g(x)=9x+k$（$k$は定数）がある．以下の問に答えなさい．

(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが$3$つの異なる交点を持つ必要十分条件は$|k|<[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}$である．
(2)$y=f(x)$は，$x=a$のとき，極大値$b$をとる．また，$g(a)=c$とする．
$\log_{10}b-7\log_{10}c+7=0$が成立するのは，$k=[ス][セ]$のときである．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは，$3$つの異なる交点をもち，それらの$x$座標の値は，小さい順に並べると$-[ソ],\ -[タ],\ [チ]$となる．

関数$y=x^3-(a+2)x+a^2-2a$とそのグラフ$C_a$に対して，次の問いに答えよ．ただし，$a \geqq 1$とする．

(1)$C_a$と直線$x=1$との交点の座標を$(1,\ t)$とするとき，$a$の変化に応じて$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)この関数が$x=\sqrt{2}$で極値をとるとき，$a$の値および極大値，極小値を求めよ．
(3)$a=1$としたときのグラフを$C_1$とする．2つのグラフ$C_a$と$C_1$および$y$軸とで囲まれた図形の面積が4となるとき，$a$の値を求めよ．

次の空欄ア～シに当てはまる数または式を記入せよ．

(1)方程式$x^3-4x^2+ax+b=0$の$1$つの解が$1-2i$であるとき，実数解は$[ア]$であり，$a=[イ]$，$b=[ウ]$である．ただし，定数$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(2)サイコロを続けて$2$回振り，最初に出た目が$a$，次に出た目が$b$ならば座標平面上に直線$\ell:y=ax-b$を描く．この試行において，直線$\ell$が放物線$y=x^2$と相異なる$2$点で交わる確率は$[エ]$である．
(3)不等式$x^2+y^2+6x+4y-12 \leqq 0$の表す領域の面積は$[オ]$である．
(4)$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}-1},\ y=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$であるとき，$x^3+y^3-2xy^2=[カ]$である．
(5)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，$\sqrt{3}\cos \theta-\sin \theta=r \sin (\theta +\alpha)$の形に変形すると，$r=[キ]$，$\alpha=[ク]$である．ただし，$0 \leqq \alpha < 2\pi$とする．
(6)実数からなる数列$\{a_n\}$が$a_{n+1}^3=2a_n^2,\ a_1=4$を満たすとき，$\log_2a_n=[ケ]$である．
(7)図のように東西$6$本，南北$6$本の道路で区画された場所がある．南西の端の地点$\mathrm{A}$から北東の端の地点$\mathrm{B}$へ行く最短ルートは$[コ]$通りある．
（図は省略）
(8)$3$次関数$f(x)=x^3-3a^2x+b (a>0)$が極大値$13$と極小値$-19$を持つならば$a=[サ]$，$b=[シ]$である．

関数$f(x)=x^3-9x^2+3x$は，$x=a$で極大値をとり，$x=b$で極小値をとるものとする（$a,\ b$は実数）．$(a+b)$の値を求めよ．

$3$次関数$f(x)=x^3+ax^2+bx$は，$x=2$で極大値$20$をとる．ただし，$a$と$b$は定数とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．また，$f(x)$の極小値を求めよ．
(2)$f(x)$の定義域を$1 \leqq x \leqq 5$とするとき，$f(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(3)$2$曲線$y=f(x)$，$y=x^3+27$，および$2$直線$x=1$，$x=5$で囲まれた図形の面積を求めよ．