$2$次関数$f(x)$に対して
\[ F(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
とおく．$a$を正の数とし，$F(x)$が$x=a$と$x=-a$で極値をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべての$x$について$F(-x)=-F(x)$が成り立つことを示せ．
(2)$F(x)+F(a)=0$を満たす$x$をすべて求めよ．

(3)関数$\displaystyle \frac{F(x)}{F^\prime(0)}$の極大値を求めよ．

実数$a$に対して，関数$\displaystyle f(x)=x^4+\frac{8}{3}ax^3-2x^2-8ax$が$x=X$で極大値$Y$をとるとする．$a$の値が変化するとき，点$(X,\ Y)$が描く軌跡を図示せよ．

以下の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．

（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$

(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．

$f(x)=2x^3+(a-1)x^2-a+1$（$a$は$a \neq 1$を満たす実数）とするとき，次の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフは$a$の値によらず$2$定点を通ることを示し，その座標を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値を与える$x$の値$m$を求めよ．
(3)$a$が$a \neq 1$を満たす実数全体を動く．$(2)$の$m$に対し，点$(m,\ f(m))$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

$3$次関数$y=f(x)=x^2(x-3)$で与えられる曲線を$C$とする．

(1)関数$y=f(x)$は，$x=[ア]$のとき極大値$[イ]$をとる．また，$x=[ウ]$のとき極小値$[エ]$をとる．
(2)点$(1,\ -2)$における曲線$C$の接線$\ell$の方程式は$y=[オ]$である．
(3)$(1)$の$[ア]$から$[エ]$で表される$2$点$([ア],\ [イ])$，$([ウ],\ [エ])$が$2$次関数$y=x^2+px+q$で与えられる放物線$C^\prime$上にあるとき，$p=[カ]$，$q=[キ]$である．
(4)$(2)$で求めた接線$\ell$と$(3)$で求めた放物線$C^\prime$で囲まれた部分の面積は$[ク]$である．

$c$を$0<c<1$を満たす実数とする．関数
\[ F(x)=\int_0^x (t-c) \log \left( t^2-t+\frac{1}{2} \right) \, dt \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$F(x)$の導関数$F^\prime(x)$を求めよ．
(2)$F^\prime(x)<0$となる$x$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(3)$F(x)$が極大値をとる$x$の値と極小値をとる$x$の値をそれぞれ求めよ．
(4)$\displaystyle c=\frac{1}{2}$のとき，$x \geqq 0$の範囲における$F(x)$の最小値を求めよ．

次の文中の$[ア]$～$[ヌ]$にあてはまる最も適切な数値を答えなさい．

$xy$平面上のいくつかの曲線および直線について考える．

(1)曲線$C_1:y=x(x-2)$と$x$軸によって囲まれた領域の面積を$S$とすれば$\displaystyle S=\frac{[ア]}{[イ]}$である．
原点を通る直線$\ell:y=kx$と$C_1$は，これらが接する場合を除き$x=0$および$x=[ウ]+[エ]k$で交わる．
また，$\ell$が$S$を等分するとき，$\displaystyle k=[オ]+\left( [カ] \right)^{1/ \mkakko{キ}}$である．
(2)曲線$C_2:y=x |x-2|$と，直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ク]$であり，$C_2$と$\ell$は$x=[ケ]$で再び交わる．このとき，$C_2$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$[コ]$である．
(3)曲線$C_3:y=x(x-2)^2$と$x$軸によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$である．
$C_3$と直線$\ell:y=kx$が原点で接するとき，$k=[ス]$であり，$C_3$と$\ell$は$x=[セ]$で再び交わる．このとき，$C_3$と$\ell$によって囲まれた領域の面積は$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ]}$である．
$C_3$は$\displaystyle x=\frac{[ツ]}{[テ]}$で極大値をとるから，曲線$C_3$と，直線$L:y=a$が異なる$3$つの共有点をもつような$a$の範囲は，$\displaystyle 0<a<\frac{[ト][ナ]}{[ニ][ヌ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2+2} (a \neq 0)$（$a,\ b,\ c$は実数）は，$x=-2$で極小値$\displaystyle \frac{1}{2}$をとり，$x=1$で極大値$2$をとる．$|a+b-c|$の値を求めよ．

次の$[　]$に適切な数を入れよ．

(1)座標平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 1)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$に対して，
\[ \sin \angle \mathrm{AOB}=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]} \]
である．
(2)開発中のある薬品を製造するために，$3$種類の全く別の方式$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が考案された．また，各々の方式で，失敗せず薬品が製造できる確率は，それぞれ，$90 \, \%$，$70 \, \%$，$50 \, \%$である．これらの$3$種類の方式で独立にそれぞれ$1$回ずつ薬品を製造するとき，少なくとも$1$つの方式で失敗せず薬品が製造できる確率は，$[ウ][エ].[オ] \%$である．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が，
\[ S_n=5a_n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で表されるとき，初項は$\displaystyle a_1=\frac{[カ]}{[キ]}$であり，一般項は$\displaystyle a_n=\frac{[ク]^{n-1}}{[ケ]^n}$である．

また，$a_{2016}$の整数部分は$[コ][サ][シ]$桁の数である．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(4)$a,\ b,\ c$を定数とし，$x$の関数$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(-1)=1$，$f(2)=31$を満たす．さらに$x$の関数$\displaystyle g(x)=\int_0^x (t-1)f^\prime(t) \, dt$が$x=-2$，$x=1$で極値をとるとする．このとき，$a=[ス]$，$b=[セ]$，$c=[ソ]$であり，$g(x)$の極大値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ]}$である．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$z=\sqrt{-2} \times \sqrt{-3}$，$\displaystyle w=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{-2}}$のとき，$z+w$の実部は$[ア]$で虚部は$[イ]$である．
(2)関数$f(x)=\cos 2x+\sin x+a$の最大値が$2$のとき，定数$a$の値は$[ウ]$で，$f(x)$の最小値は$[エ]$である．
(3)$4$つの数$\displaystyle \frac{3}{2},\ \log_2 3,\ \log_4 6,\ \log_4 7$のうち，一番小さい数は$[オ]$で，一番大きい数は$[カ]$である．
(4)関数$f(x)=x^3-(a+1)x^2-15x$が$x=a$で極小値をとるとき，定数$a$の値は$[キ]$で，$f(x)$の極大値は$[ク]$である．