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国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 滋賀大学 2016年 第3問$6$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$から異なる$5$個の数字を並べて$5$桁の整数を作るとき，次の問いに答えよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
(1)$2$の倍数の個数と$3$の倍数の個数をそれぞれ求めよ．
(2)$6$の倍数の個数を求めよ．
(3)$5$の倍数で大きい方から$50$番目の整数を求めよ．
(4)$30$と互いに素である整数の個数を求めよ．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 福島大学 2016年 第1問次の問いに答えなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
(1)$(a+2b+3c)^6$の展開式における$a^3b^2c$の係数を求めなさい．
(2)実数$x,\ y$が$x^2+y^2 \leqq 2$をみたすとき，$5x+y$の最大値および最小値を求めなさい．
(3)$\log_{10}2=0.3010$を用いて以下の問いに答えなさい．
(i) $5^{15}$の桁数を求めなさい．
(ii) $5^{15}$と$2^{40}$の大小を比較しなさい．
(4)関数$y=x^2+1$および$y=-x^2+2x+4$のグラフで囲まれた図形の面積を求めなさい．
国立 広島大学 2016年 第5問数列
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
\[ x_n=2^n \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
を考える．この数列は$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ 64,\ 128,\ 256,\ \cdots$であるが，各項の下$1$桁をみると，$1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ 4,\ 8,\ 6,\ \cdots$となっており，$2$から循環が始まり循環の周期は$4$である．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{x_n\}$の各項の下$2$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$1$桁の数に対しては$0$を補って下$2$桁とみなすことにする．たとえば，$2$の下$2$桁は$02$とする．
(2)$4$の倍数で，$25$で割って$1$余る$2$桁の自然数$A$を求めよ．
(3)$8$の倍数で，$125$で割って$1$余る$3$桁の自然数$B$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の各項の下$3$桁は，あるところから循環する．循環が始まるところと，循環の周期を求めよ．ここで，$2^m$を$125$で割って$1$余るような最小の自然数$m$が$100$であることを用いてもよい．
国立 東京大学 2016年 第5問$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．
(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．
国立 防衛医科大学校 2016年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある．$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか．
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．このとき，$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\sum_{k=1}^n 12k(100)^{n-k} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で表される数列$\{a_n\}$がある．$a_{17}-a_6$の下$1$桁から$12$桁までの数の和はいくらか．
(2)関数
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
2x & \left( 0 \leqq x<\displaystyle\frac{1}{2} \right) \phantom{\displaystyle\frac{2}{1}} \\
-2x+2 & \left( \displaystyle\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1 \right) \phantom{\displaystyle\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とする．このとき，$\displaystyle \int_0^1 |f(f(x))-\sin 2\pi x| \, dx$はいくらか．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \displaystyle\frac{2x-2}{2x-1}-\displaystyle\frac{2}{{(2x-1)}^2} \right)^{3x}$を求めよ．
国立 富山大学 2016年 第1問$\displaystyle \sum_{n=0}^{100} 2^n$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 富山大学 2016年 第3問$\displaystyle \sum_{n=0}^{100} 3^n$の桁数を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．