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国立 愛媛大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第1問半径$1$の円に内接する正十二角形$D$がある．その面積を$S$とする．$D$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_1$をつくる．さらに，$D_1$の各辺の中点を結んで正十二角形$D_2$をつくる．このように，$D_{n−1}$の各辺の中点を順に結んで正十二角形$D_n$をつくる（$n \geqq 2$）．$D_n$の面積を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
(1)$S$と$S_1$を求めよ．
(2)$S_n$を$n$の式で表せ（$n \geqq 1$）．
(3)$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2}S$となる最小の整数$n$を求めよ．ただし，
\[ 1.89<\log_2(2+\sqrt{3})<1.9 \]
である．
国立 長崎大学 2016年 第4問区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$2$つの関数$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$，$g(x)=x-\sqrt{1-x^2}$を考える．曲線$C_1:y=f(x)$と曲線$C_2:y=g(x)$で囲まれた図形を$D$とする．以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ．
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ．また，$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$f(x)$の増減を調べ，その最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$C_1$は曲線$C_2$と原点に関して対称であることを示せ．
(3)区間$-1 \leqq x \leqq 1$において，$f(x)$と$-g(x)$の値の大小関係を調べよ．また，$g(x) \geqq 0$が成り立つような$x$の範囲を求めよ．
(4)図形$D$の$x \geqq 0$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第3問$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第2問次の問いに答えよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
(1)$a,\ b$を正の実数とする．楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる楕円が$y$軸と直線$y=x$に接するような$a,\ b$を求めよ．
(2)$1$辺の長さが$\sqrt{n}$の正$n$角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \cdots \mathrm{A}_n$における三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の面積を$S_n$とする．このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ．
(3)$a,\ b$は実数で$a>0$を満たすとする．放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2a^2}x^2$と曲線$y=\log x+b$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとき，$\mathrm{P}$の座標および$b$を$a$を用いて表せ．
(4)$1 \leqq x \leqq 2$とする．関数$\displaystyle f(x)=\int_1^2 \frac{|t-x|}{t^2} \, dt$を最小にする$x$の値を求めよ．
国立 愛媛大学 2016年 第4問$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする．複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．
(1)すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ．
(2)$\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ．ただし，$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(3)$z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ．
(4)複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする．$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$，$\cdots$，$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする．$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$のように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 長崎大学 2016年 第2問$1$辺の長さが$2$の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．下の図$1$にように，$2$辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上に，$\mathrm{BS}=\mathrm{CT}=x (0 \leqq x \leqq 2)$を満たす点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{EST}$の面積の最大値と最小値を求めたい．以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
（図は省略）
(1)上の図$2$を参考にして，三角形$\mathrm{OPQ}$において$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$とおくとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{p|}^2 |\overrightarrow{q|}^2-(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2} \]
と表されることを証明せよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{EF}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{EH}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}=\overrightarrow{c}$とおく．立方体の$1$辺の長さが$2$であることに注意して，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$x$を用いて表せ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{ES|}}^2$，$|\overrightarrow{\mathrm{ET|}}^2$を，それぞれ$x$の式として表せ．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{ES}}$と$\overrightarrow{\mathrm{ET}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{ES}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{ET}}$は，$x$によらない一定の値になることを示せ．
(3)上の$(1)$を利用して三角形$\mathrm{EST}$の面積$f(x)$を求めよ．
(4)$0 \leqq x \leqq 2$の範囲で，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値も答えよ．
国立 岩手大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ -1,\ -1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 1,\ -2)$の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ．
(2)$1 \leqq x \leqq 27$のとき，関数$y=(\log_3 x)^2-\log_3 x^2-3$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)複素数平面上で，点$\mathrm{P}(1-\sqrt{3}i)$を中心とする円に内接する正三角形がある．この正三角形の頂点の$1$つが点$\mathrm{A}(2)$であるとき，残りの$2$つの頂点を表す複素数を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
国立 岩手大学 2016年 第3問$a,\ b$を定数とし，関数$f(x)=\sin 2x+a \cos x+b$とする．$\displaystyle f \left( \frac{\pi}{6} \right)=\sqrt{3}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線が，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\pi}{2}+2 \sqrt{3},\ 0 \right)$を通るとき，$a,\ b$の組をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$で定められる$f(x)$のうち，$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極値をとるものについて考える．このとき$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$f(x)$のすべての極値を求めよ．
(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\pi}{2},\ f \left( \frac{\pi}{2} \right) \right)$における法線が，点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\pi}{2}+2 \sqrt{3},\ 0 \right)$を通るとき，$a,\ b$の組をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$で定められる$f(x)$のうち，$\displaystyle x=\frac{\pi}{6}$で極値をとるものについて考える．このとき$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲において，$f(x)$のすべての極値を求めよ．