「根号」について
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私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
$2$次関数$f(x)=ax^2-2ax+2a^2+4a+1$（ただし，$a$は$a \neq 0$を満たす実数）とする．
(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の$x$座標は$[$1$]$であり，$y$座標は
\[ [$2$]a^2+[$3$]a+[$4$] \]
である．
(2)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標が負となるとき，$a$のとり得る値の範囲は
\[ -[$5$]<a<-\frac{[$6$]}{[$7$]} \]
である．
(3)$y=f(x)$のグラフの頂点の$y$座標は
$\displaystyle a=-\frac{[$8$]}{[$9$]}$のとき，最小値$\displaystyle -\frac{[$10$]}{[$11$]}$をとる．
(4)$2$次方程式$f(x)=0$が負の解をもつとき，$a$のとり得る値の範囲は，
\[ a<\frac{-[$12$]-\sqrt{[$13$]}}{[$14$]},\quad \frac{-[$15$]+\sqrt{[$16$]}}{[$17$]}<a<[$18$] \]
である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の空欄$[$19$]$～$[$42$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$19$]$，$[$21$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円と直線$y=-2x$との交点のうち，$y$座標が正となる点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{OA}$が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0^\circ<\theta<{180}^\circ)$とする．
(i) $\tan \theta=[$19$][$20$]$であり，
$\cos \theta=[$21$] \frac{\sqrt{[$22$]}}{[$23$]}$であり，
点$\mathrm{A}$の座標は$\displaystyle \left( -\sqrt{[$24$]},\ [$25$] \sqrt{[$26$]} \right)$である．
(i) 点$(3 \sqrt{5},\ 0)$を$\mathrm{B}$とするとき，$\mathrm{AB}=[$27$][$28$]$であり，三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{[$29$] \sqrt{[$30$]}}{[$31$]}$である．
(2)下図のように半径$r$の扇形$\mathrm{ABC}$があり，$\angle \mathrm{CAB}={90}^\circ$とする．直線$\mathrm{CA}$の延長線上に点$\mathrm{D}$をとり，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{1}{5}$とする．この扇形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{ADB}$の両方からなる図形を直線$\mathrm{CD}$を軸として回転させてできる立体の表面積を$S$，体積を$V$とする．
(i) $\displaystyle r=\frac{3}{2}$のときの$S$は，$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$倍であり，$V$は$r=1$のときの$\displaystyle \frac{[$34$][$35$]}{[$36$][$37$]}$倍である．
(ii) $r=1$のとき，$S=[$38$] \pi$であり，
$\displaystyle V=\frac{[$39$]}{[$40$]} \left( [$41$]+\sqrt{[$42$]} \right) \pi$である．
（図は省略）
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$18$]$にあてはまる数字を入れよ．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
(1)$\displaystyle \sqrt{\frac{31 \sqrt{3}+31 \sqrt{5}-10 \sqrt{42}-6 \sqrt{70}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}}$
$=\sqrt{[$1$][$2$]-[$3$] \sqrt{[$4$][$5$][$6$]}}$
$=\sqrt{[$7$][$8$]}-\sqrt{[$9$][$10$]}$
(2)$\mathrm{AB}=10$，$\mathrm{BC}=16$，$\angle \mathrm{ABC}={60}^\circ$の三角形$\mathrm{ABC}$を底面とする三角柱の内部に球がある．球は，三角柱の$5$つの面すべてに接している．このとき，
(i) 底面の三角形の面積は$[$11$][$12$] \sqrt{[$13$]}$である．
(ii) 球の半径は$[$14$] \sqrt{[$15$]}$である．
(iii) 三角柱の体積は$[$16$][$17$][$18$]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の空欄$[$19$]$～$[$37$]$にあてはまる数字を入れよ．
$xy$平面上に，双曲線$x^2-y^2=1$がある．この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している．ただし$a>0$とする．このとき，
(1)$a=\sqrt{[$19$][$20$]}$
$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{[$21$][$22$]}}{[$23$]},\ -\frac{[$24$]}{[$25$]} \right)$である．
(2)この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{M}$の座標は
\[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$]},\ \frac{t}{2}-\frac{[$29$]}{[$30$]} \right) \]
と表すことができる．また，$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{[$31$]}{[$32$]}$を
$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{[$33$][$34$]}}{[$35$]}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{[$36$]}{[$37$]}$だけ平行移動して得られる双曲線である．
$xy$平面上に，双曲線$x^2-y^2=1$がある．この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している．ただし$a>0$とする．このとき，
(1)$a=\sqrt{[$19$][$20$]}$
$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{[$21$][$22$]}}{[$23$]},\ -\frac{[$24$]}{[$25$]} \right)$である．
(2)この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{M}$の座標は
\[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$]},\ \frac{t}{2}-\frac{[$29$]}{[$30$]} \right) \]
と表すことができる．また，$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{[$31$]}{[$32$]}$を
$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{[$33$][$34$]}}{[$35$]}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{[$36$]}{[$37$]}$だけ平行移動して得られる双曲線である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$38$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．
私立 上智大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．
(1)$a$を実数とする．実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．方程式
\[ \left[ \frac{1}{2}x \right]=x-a \]
が$0 \leqq x<4$の範囲に異なる$2$つの実数解をもつような$a$の範囲は$[ア] \leqq a<[イ]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{4-\sqrt{11}}$を小数で表すとき，小数第$1$位の数字は$[ウ]$である．
(3)${(x^2+\sqrt{2}y)}^6$の展開式における$x^8y^2$の係数は$[エ]$である．
(4)$k$を実数とする．$2$つの$2$次方程式
\[ x^2-(k-1)x+k+2=0,\quad x^2-(k+1)x+k^2-5=0 \]
が，どちらも$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ \frac{[オ]}{[カ]}<k<[キ] \]
であり，少なくともどちらか一方が$2$つの異なる実数解をもつような$k$の範囲は
\[ k<[ク] \quad \text{または} \quad [ケ]<k \]
である．
私立 上智大学 2014年 第2問$\angle \mathrm{A}$が鋭角で$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{AC}=4$の$\triangle \mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{A}$の二等分線と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{E}$とし，直線$\mathrm{BE}$と直線$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．
(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．
(1)面積比$\triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \triangle \mathrm{ABE}:\triangle \mathrm{ABC}=[コ]:[サ] \]
である．
(2)線分比$\mathrm{AF}:\mathrm{FC}$を最も簡単な整数比で表すと，
\[ \mathrm{AF}:\mathrm{FC}=[シ]:[ス] \]
である．
(3)$\triangle \mathrm{ABE}$の面積が$\displaystyle \frac{8}{5}\sqrt{5}$であるとき，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$，$\mathrm{BC}=[タ] \sqrt{[チ]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{[ツ]}{[テ]}$である．
また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$[ト]$であり，内接円の半径は$\sqrt{[ナ]}-[ニ]$である．
私立 上智大学 2014年 第2問座標空間の原点$\mathrm{O}$を通りベクトル$(1,\ \sqrt{3},\ 2 \sqrt{3})$に平行な直線を$\ell$とし，点$\mathrm{A}$の座標を$(\sqrt{3}+3,\ 3 \sqrt{3}+3,\ 6-2 \sqrt{3})$とする．このとき，$\mathrm{O}$を頂点とする円錐$C$は，底面の中心$\mathrm{H}$が$\ell$上にあり，底面の円周が$\mathrm{A}$を通るとする．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
(1)$\displaystyle \angle \mathrm{AOH}=\frac{[コ]}{[サ]}\pi$である．ただし，$0 \leqq \angle \mathrm{AOH}<\pi$とする．
(2)$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( \sqrt{[シ]},\ [ス],\ [セ] \right) \]
である．
(3)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の底面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ y+[ソ]z+[タ]=0 \]
が成り立つ．
(4)点$(\sqrt{3},\ y,\ z)$が$C$の側面上（境界を含む）にあるとき，常に
\[ [チ]y^2+[ツ]yz+[テ]z^2+[ト]y+[ナ]z+21=0 \]
が成り立つ．また，このときの$z$の最大値は
\[ [ニ]+\frac{[ヌ]}{[ネ]} \sqrt{[ノ]} \]
である．
私立 上智大学 2014年 第1問正三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を$\mathrm{AD}$，点$\mathrm{B}$から辺$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{BE}$とする．$\triangle \mathrm{ABD}$の内心を$\mathrm{O}$とするとき，内接円$\mathrm{O}$の半径は$1$である．円$\mathrm{O}$と$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BD}$との接点をそれぞれ$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
(1)$\mathrm{AE}=[ア]+\sqrt{[イ]}$である．
(2)$\mathrm{AF}=[ウ]+\sqrt{[エ]}$である．
(3)$\mathrm{AO}=\sqrt{[オ]}+\sqrt{[カ]}$である．ただし，$[オ]<[カ]$とする．
(4)$\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{\sqrt{[キ]}+\sqrt{[ク]}}{[ケ]}$である．ただし，$[キ]<[ク]$とする．
(5)円$\mathrm{O}$の点$\mathrm{H}$を含まない弧$\mathrm{FG}$と線分$\mathrm{AF}$および線分$\mathrm{AG}$で囲まれた図形の面積は
\[ [コ]+\sqrt{[サ]}+\frac{[シ]}{[ス]}\pi \]
である．
私立 上智大学 2014年 第2問座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．
(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．