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私立 昭和薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．
私立 東京女子大学 2014年 第1問四角形$\mathrm{OABC}$において三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{O}$を中心とする円に内接している．$\mathrm{AB}=\sqrt{3}$，$\mathrm{CA}=3$，$\mathrm{BC}=2$のとき以下の設問に答えよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．
(1)$\cos \angle \mathrm{ABC}$を求めよ．
(2)$\mathrm{OA}$を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{OABC}$の面積を求めよ．
私立 玉川大学 2014年 第1問$[ア]$～$[ツ]$を埋めよ．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
(1)次を計算せよ．
\[ 3+\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3+\displaystyle\frac{1}{3}}}=\frac{[アイウ]}{[エオ]},\quad 3 \times 2 \div 3^{-1}=[カキ] \]
(2)空欄を埋めよ．
\[ \frac{\sqrt{2}+2i}{1-\sqrt{2}i}=-\frac{\sqrt{[ク]}}{[ケ]}+\frac{[コ]}{[サ]}i \]
(3)$\mathrm{A}$君と，$\mathrm{A}$君の姉の年齢の和は$28$，積は$180$である．$\mathrm{A}$君の年齢は$[シス]$歳，姉の年齢は$[セソ]$歳である．
(4)$\log_8 x+\log_8 (x+2) \geqq 1$を解くと
\[ x \geqq [タ] \]
である．
(5)曲線$y=x^2$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式は$y=[チ]x-[ツ]$である．
私立 玉川大学 2014年 第2問$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(1)$\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$のとき$\sin 5x+\sin 3x$の値は
\[ \sin 5x+\sin 3x=[ア] \sin [イ]x \cos x \]
を用いれば
\[ [ウエ] \sqrt{[オ]}-[カキ] \]
である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$n:m$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$m \neq n$かつ$m$と$n$の最大公約数は$1$である．このとき$\displaystyle t=\frac{m}{m+n}$とおくと
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+([ク]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．いま，$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$として，点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{PR}$の中点であるならば
\[ \overrightarrow{\mathrm{AR}}=-t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+[ケ] ([コ]-t) \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
となるから
\[ m:n=[サ]:[シ] \]
である．
(3)数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を使って$5$桁の整数を作る．その中で，数字の並べ方を逆にしたものをもとの整数に加えると，どの桁の数字も偶数になるものは
\[ [スセ] \]
個ある．
(4)曲線$y=x^2-x$と$x$軸の囲む部分の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
私立 名城大学 2014年 第1問次の問について，答えを$[ ]$に記入せよ．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．
私立 上智大学 2014年 第3問$a \geqq 0$とし
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．
\[ S(a)=\int_0^1 |x^2+2ax+a^2-1| \, dx \]
とおく．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2}$のとき$\displaystyle S(a)=\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
(2)等式
\[ S(a)=\int_0^1 (x^2+2ax+a^2-1) \, dx \]
が成り立つ$a$の範囲は$a \geqq [ミ]$である．
(3)$a \geqq [ミ]$のとき
\[ S(a)=[ム]a^2+[メ]a+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
であり，$0 \leqq a<[ミ]$のとき
\[ S(a)=\frac{[ユ]}{[ヨ]}a^3+[ラ]a^2+[リ]a+\frac{[ル]}{[レ]} \]
である．
(4)$S(a)$は$\displaystyle a=\frac{[ロ]+\sqrt{[ワ]}}{[ヲ]}$のとき最小値をとる．
私立 武庫川女子大学 2014年 第1問次の空欄$[$1$]$～$[$24$]$にあてはまる数字を記入せよ．ただし，空欄$[$21$]$には，$+$または$-$の記号が入る．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
(1)$a_1=m$（ただし，$m>0$），$a_{n+1}-a_n=-4$（ただし，$n$は自然数）で定められる数列$\{a_n\}$がある．
$a_n=m-[$1$](n-[$2$])$であり，
$S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とすると，$n$が$\displaystyle \frac{m+[$3$]}{[$4$]}$に最も近い整数であるとき，$S_n$は最大値をとる．
したがって，ある$m$の値について，$S_n$が，$n=10$で最大となるとき，とり得る$m$の値の範囲は$[$5$][$6$] \leqq m \leqq [$7$][$8$]$であり，$m=[$7$][$8$]$のとき，$S_{10}=[$9$][$10$][$11$]$である．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$を直角とする直角三角形$\mathrm{OAB}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．線分$\mathrm{AB}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，$3:1$に外分する点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{BP}=1$とする．
(i) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$12$]}{[$13$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$14$]}{[$13$]} \overrightarrow{b}$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{a}+\frac{[$17$]}{[$16$]} \overrightarrow{b}$であり，
$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|=[$18$]|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$|\overrightarrow{b}|=[$19$]$であり，$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=[$20$]$である．
(iii) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=2 \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RA}}$のなす角を$\theta$とすると，
$\displaystyle \cos \theta=[$21$] \frac{[$22$] \sqrt{[$23$]}}{[$24$]}$である．
私立 東京理科大学 2014年 第2問次の$[ ]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．
$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．
$f(x)$はすべての係数が整数であるような$3$次多項式で，$x^3$の係数が$1$であり，
\[ \frac{-\sqrt[3]{2}-2+\sqrt[3]{2} \sqrt{3}i}{2} \]
は方程式$f(x)=0$の解の$1$つであるとする．ただし，$i$は虚数単位とする．このとき，
\[ f(x)=x^3+[チ]x^2+[ツ]x-[テ] \]
であり，$f(x)=0$の実数解は${[ト]}^{\frac{1}{3}}-[ナ]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第2問次の問いに答えよ．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
(1)次の不等式の空欄$[$25$]$～$[$28$]$にあてはまるものを下の解答群から選べ．
\[ [$25$]<[$26$]<\sqrt[3]{7}<[$27$]<[$28$] \]
解答群 \quad $\nagamaruichi \ \tan {50}^\circ \qquad \nagamaruni \ \sqrt{5} \qquad \nagamarusan \ \sqrt[4]{14} \qquad \nagamarushi \ \sin {100}^\circ$
(2)次の空欄$[$29$]$～$[$38$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$29$]$，$[$32$]$には$+$，$-$，$\pm$いずれかの記号が入る．
(i) 方程式$\log_2 (x+7)+\log_2 (3x+2)=\log_2 6$の解は
\[ x=\frac{\kakkofour{$29$}{$30$}{$31$}{$32$} \sqrt{[$33$][$34$][$35$]}}{[$36$]} \]
である．
(ii) $\log_2 3 \cdot \log_4 8 \cdot \log_9 16=[$37$][$38$]$である．
私立 武庫川女子大学 2014年 第3問次の空欄$[$39$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．ただし，空欄$[$41$]$，$[$44$]$，$[$47$]$，$[$51$]$には$+$または$-$の記号が入る．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{5x^2+5x-30}{x-2}=[$39$][$40$]$である．
(2)$2$次関数$y=f(x)$のグラフは原点と点$\displaystyle \left( 1,\ \frac{17}{4} \right)$を通る．また，$x=2$において傾き$8$の接線をもつ．このとき，$f(x)$の最小値は$\displaystyle [$41$] \frac{[$42$]}{[$43$]}$である．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$（ただし，$a,\ b,\ c$は定数）がある．すべての実数$x$について$3f(x)+4f^\prime(x)=-2x^2+5x+7$が常に成立するとき，
\[ a=[$44$] \frac{[$45$]}{[$46$]},\quad b=[$47$] \frac{[$48$][$49$]}{[$50$]},\quad c=[$51$] \frac{[$52$][$53$]}{[$54$][$55$]} \]
である．
(4)$2$つの関数$\displaystyle f(x)=x-\frac{3}{a}$および$\displaystyle g(x)=ax^2+7x+\frac{6}{a}$がある（ただし，$a$は正の定数）．$xy$平面上の$4$つのグラフ$y=f(x)$，$y=g(x)$，$x=0$および$x=1$で囲まれる図形の面積は$a=[$56$] \sqrt{[$57$]}$のとき最小値$[$58$]+[$59$] \sqrt{[$60$]}$をとる．