$a$を定数とし，$a>0$，$a \neq 1$とする．不等式
\[ \log_{\sqrt{a}} (x-a)-\log_{a^2}4>\log_a (2x+\frac{1}{2}a^2-4a) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$0<a<1$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(2)$a \geqq 4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．
(3)$1<a<4$のとき，この不等式を満たす$x$の値の範囲を$a$を用いて表せ．

次の問に答えよ．

(1)方程式$\displaystyle |4-x|+|\displaystyle\frac{1|{2}x-3}=3$を解け．

(2)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}},\ {25}^{-\frac{1}{3}},\ \frac{1}{\sqrt[5]{125}}$を小さい順に並べよ．

(3)$\mathrm{SHUDODAIGAKU}$の$12$文字から$4$文字を選んで$1$列に並べる順列の総数を求めよ．

平面上に，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$であるような三角形$\mathrm{OAB}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$が正三角形になるように，直線$\mathrm{AB}$に関して点$\mathrm{O}$の反対側に点$\mathrm{P}$をとる．このとき，

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OM}}=\frac{[$13$]}{[$14$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$15$]}{[$16$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}$である．
(2)点$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{AB}$に垂線を下ろし，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{H}$とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[$17$]}{[$18$][$19$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[$20$]}{[$21$][$22$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．
(3)$\displaystyle \mathrm{MP}=\frac{\sqrt{[$23$][$24$]}}{[$25$]}$で，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$とが平行であることに注意すると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{MP}}=\frac{[$26$] \sqrt{[$27$]}}{[$28$]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{\sqrt{[$29$]}}{[$30$]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
である．

$a$を実数とする．関数$f(x)=x^3-ax$を考える．次の設問に答えよ．

(1)$f(x)$が区間$-1<x<1$において極値をとるような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$f(x)$の区間$-1 \leqq x \leqq 1$における最小値が$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$となる$a$の値をすべて求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．

次の問に答えよ．

(1)$1$個のサイコロを$3$回投げるとき，出た目の数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．

(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{3}} x \sin x \, dx$を求めよ．

(3)$\displaystyle {\left( \frac{1+\sqrt{3}i}{2} \right)}^{2014}$の値を求めよ．

条件${0}^{\circ} \leqq a \leqq {180}^{\circ}$を満たす$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\sin (x+a)-\sqrt{3} \cos (x+a) \]
と定める．$x$が$0^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$0<a<2$とする．いま
\[ I=\int_a^{a+2} \left( |x^2-4|+\frac{1}{6} \right) \, dx \]
とおくとき
\[ I=\frac{[サ]a^3+[シ]a^2+[ス]a+[セ]}{[ソ]} \]
である．さらに$I$は$a=[タ]+\sqrt{[チ]}$のとき，最小値$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$をとる．