実数$p,\ q$が$p+q=\sqrt{6}$，$p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．

$\displaystyle f(x)=\sqrt{3} \cos \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$，$\displaystyle g(x)=\sin \left( 2x-\frac{1}{2} \pi \right)$とする．

(1)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)+g(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$f(x)g(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$p=(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2$，$q=(\sqrt{3}-\sqrt{5})^2$のとき$p+q=[アイ]$，$pq=[ウ]$，$p^2+q^2=[エオカ]$である．

(2)連立不等式$\left\{ \begin{array}{r}
|2x-9| \leqq 5 \\
9-2x \leqq 4
\end{array} \right.$の解は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]} \leqq x \leqq [ケ]$である．

(3)$(2x-1)^5(y-2)^4$の展開式における$x^2y^3$の項の係数は$[コサシ]$である．
(4)${0}^\circ<\theta<{90}^\circ$で，$\displaystyle \tan \theta=\frac{4}{3}$のとき，
\[ \frac{\sin (\theta+{90}^\circ)+\tan (\theta+{90}^\circ)}{\sin ({180}^\circ-\theta)+\tan ({180}^\circ-\theta)}=\frac{[ス]}{[セソ]} \]
である．
(5)$p,\ q$を定数とし，$q<0$とする．$2$次関数$y=px^2+qx+2q$のグラフの頂点の座標が$(-4q,\ -40)$のとき，$\displaystyle p=\frac{[タ]}{[チ]}$，$q=[ツテ]$である．
(6)赤玉が$5$個，白玉が$3$個入っている袋がある．この袋の中から玉を同時に$2$個取り出すとき，少なくとも$1$個が白玉である確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナニ]}$である．
(7)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$個のさいころを同時に投げて，それぞれの出る目を$a,\ b,\ c$とする．このとき，積$abc$が奇数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ヌネ]$組あり，偶数になる組$(a,\ b,\ c)$は$[ノハヒ]$組ある．
(8)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=1:3$となるように点$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{AB}$上に，点$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{AC}$上にとる．線分$\mathrm{BQ}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{R}$とすると，$\displaystyle \triangle \mathrm{PQR}=\frac{[フ]}{[ヘホ]} \triangle \mathrm{BCR}$である．

条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．

(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．

行列$\displaystyle A=\frac{1}{3} \left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{array} \right)$について，次の問いに答えなさい．

(1)自然数$n$について，$\displaystyle \left( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3}
\end{array} \right)$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(p_nq_n)$を求めなさい．
(2)行列$A$で表される$1$次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，実数$a,\ b$を求めると，$(a,\ b)=[　]$である．また，$3$次方程式$2x^3-5x^2+cx+d=0$の$1$つの解が複素数$x=2+\sqrt{3}i$のとき，この$3$次方程式の実数解は$x=[　]$である．ただし，$c,\ d$は実数とする．

$a>0$とする．点$\mathrm{A}(a,\ a)$と直線$y=3x$との距離を$a$を用いて表すと$[　]$である．また，点$\mathrm{A}$を中心とし原点$\mathrm{O}$を通る円と直線$y=3x$との原点以外の交点を$\mathrm{P}$とするとき，$\mathrm{OP}=\sqrt{5}$ならば，$a=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{8}$とする．ただし$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．

(i) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=\frac{\sqrt{[ア]}}{[イ]}$，$\displaystyle \sin \theta-\cos \theta=-\frac{\sqrt{[ウ]}}{[エ]}$である．
(ii) $\displaystyle \cos 2\theta=\frac{\sqrt{[オカ]}}{[キ]}$，$\tan \theta=[ク]-\sqrt{[ケコ]}$である．

(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$の$5$チームがあり，それぞれのチームは他のチームと$1$回ずつ試合をする．$2$つのチームが対戦するときの勝敗の確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$とし，引き分けはないものとする．

(i) 試合は全部で$[サシ]$試合行われる．
(ii) $4$敗のチームが現れる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セソ]}$である．
(iii) $3$勝$1$敗のチームがちょうど$3$チーム現れる確率は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チツテ]}$である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)実数$x$の関数$f(x)=|\sin 2x+2 \sin x+2 \cos x|$の最大値は$[ア]$である．
(2)行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -2 \sin \theta \\
\displaystyle\frac{1}{2} \sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$が$0<\theta<\pi$の範囲で$A^5=A^2$を満たすとき，実数$\theta$の値は$[イ]$である．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^{-1} \frac{x^2-1}{x^2+1} \, dx$の値は$[ウ]$である．
(4)$n$をある自然数とする．実数$x$に対して，方程式$7 \sin^{8n} x+x=0$の解の個数は$[エ]$である．
(5)$\displaystyle 0<a<\frac{1}{4}$とする．座標平面において，方程式$\displaystyle -4ax+\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\frac{1}{4}$で表される曲線が囲む図形の面積は$[オ]$である．
(6)$x+y+z+w=20$を満たす正の整数$x,\ y,\ z,\ w$の組は全部で$[カ]$個である．
(7)$7$つの実数$\displaystyle \frac{1}{2}$，$\sqrt{\pi}$，$\sqrt{3}$，$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \sin \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \cos \frac{\pi}{8}$，$\displaystyle \tan \frac{\pi}{8}$を小さい方から順に並べたものを$A<B<C<D<E<F<G$とする．このとき実数$A^2$の値は$[キ]$であり，$E^2-F^2+G^2$の値は$[ク]$である．

$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(\sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ y,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ \sqrt{5})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，$y>0$，$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき$y$の値を求めると$y=[　]$である．また，原点$\mathrm{O}$から$\triangle \mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を成分で表すと$[　]$である．