$3$次関数$f(x)$は$x=0$で極小，$x=a>0$で極大になるとする．また$x=b (\neq a)$で$f(a)=f(b)$が成り立つとする．$x=b$における$y=f(x)$の接線が$y$軸と交わる点を$(0,\ c)$とおく．もし$3$点$(a,\ f(a))$，$(b,\ f(b))$，$(0,\ c)$を$3$頂点とする三角形が二等辺三角形になるならば，接線の傾きは
\[ -2 \sqrt{[$27$][$28$]} \quad\text{または}\quad -\sqrt{[$29$][$30$]} \]
であり，それぞれに対応して，$c$の値は
\[ c-f(a)=-\sqrt{[$31$][$32$]}a \quad\text{または}\quad -\frac{\sqrt{[$33$]}}{[$34$]}a \]
をみたす．

半径$1$の円周上に$8$個の点があり，それぞれの点は隣り合う点とすべて等間隔に配置されている．それらの点には，反時計回りに$1$から$8$までの番号が順番についている．また，中の見えない袋の中に，$8$個の球が入っていて，それらの球には，$1$から$8$の番号が$1$つずつ書かれている．

(1)袋から同時に$3$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$3$点を頂点とする三角形の作り方は，全部で$[$17$][$18$]$通りある．このとき，作られた三角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$19$]}-[$20$]}{[$21$]}$ & $\displaystyle\frac{[$22$]}{[$23$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{[$24$]}{[$25$]}$ & $\displaystyle\frac{[$26$]}{[$27$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$28$]}}{[$29$]}$ & $\displaystyle\frac{[$30$]}{[$31$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$32$]$ & $\displaystyle\frac{[$33$]}{[$34$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$35$]}+[$36$]}{[$37$]}$ & $\displaystyle\frac{[$38$]}{[$39$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}


(2)袋から同時に$4$つの球を取り出すとき，取り出した球と同じ番号のついた円周上の$4$点を頂点とする四角形の作り方は，全部で$[$40$][$41$]$通りある．このとき，作られた四角形の面積と，その面積が得られる確率の一覧表を作ることができる．以下の表を，上から下に面積の小さい順に並べて完成させなさい．

\begin{tabular}{cl}
\hline
面積 & 確率 \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$42$]}}{[$43$]}$ & $\displaystyle\frac{[$44$]}{[$45$][$46$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$47$]}+[$48$]}{[$49$]}$ & $\displaystyle\frac{[$50$][$51$]}{[$52$][$53$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\sqrt{[$54$]}$ & $\displaystyle\frac{[$55$]}{[$56$][$57$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $\displaystyle\frac{\sqrt{[$58$]}+[$59$]}{[$60$]}$ & $\displaystyle\frac{[$61$][$62$]}{[$63$][$64$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{2}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} $[$65$]$ & $\displaystyle\frac{[$66$]}{[$67$][$68$]}$ \phantom{$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{2}}{\displaystyle\frac{2}{2}}$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!} \\ \hline
\end{tabular}

実数$\theta$は$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$を満たすとする．$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標空間の$3$点
\[ \mathrm{A}(\cos^2 \theta,\ \sin \theta,\ 1+\sin^2 \theta),\quad \mathrm{B}(\sin \theta,\ 0,\ -\sin \theta),\quad \mathrm{C}(1,\ \cos 2\theta-\cos^2 \theta,\ 1) \]
に対し，それぞれ$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．

(1)$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではないとする．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にあるならば，

$\displaystyle \theta=\frac{[$27$][$28$]}{[$29$]} \pi$である．

次に$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$とし，以下このときの$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を考える．また，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とする．
(2)点$\mathrm{P}$は$\alpha$上の点で，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$が最小になるものとする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{b}=[$30$],\quad \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{c}=[$31$] \]
が成り立つ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{[$32$][$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{b}+\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \overrightarrow{c} \]
となる．ただし，$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$はベクトル$\overrightarrow{u}$と$\overrightarrow{v}$の内積を表す．

(3)三角形$\mathrm{OBC}$の面積は$\displaystyle \frac{1}{8} \sqrt{\frac{[$39$][$40$]}{[$41$]}}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\displaystyle \sqrt{\frac{[$42$]}{[$43$][$44$]}}$なので，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{[$45$]}{[$46$]}$となる．

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}$の分母を有理化せよ．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また$(1)$，$(3)$に答えなさい．

以下，数列$\{a_n\}$が「長さ有限」とは，ある番号から先のすべての$n$に対して$a_n=0$となることをいう．ただし，$a_n$はすべて実数とする．また，数列$\{a_n\}$を一つの文字で表すときは$A=\{a_n\}$あるいは$A=(a_1,\ a_2,\ \cdots)$のように書く．数列$A=\{a_n\}$が長さ有限のとき，$a_n \neq 0$となるような自然数$n$の最大値を数列$A$の「長さ」と呼ぶ．ただし，すべての$n$に対して$a_n=0$である数列の長さは$0$とする．
数列$A=\{a_n\}$，$B=\{b_n\}$，および実数$c$に対して
\[ A+B=\{a_n+b_n\},\quad cA=\{ca_n\} \]
により新しい数列$A+B$および$cA$を定義する．また，$A$，$B$がともに長さ有限のときに限って$A$と$B$との「内積」$A \cdot B$および「距離」$\overline{AB}$をそれぞれ
\[ A \cdot B=\sum_{n=1}^\infty a_nb_n,\quad \overline{AB}=\sqrt{\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)^2} \]
により定める．$\displaystyle \left( \sum_{n=1}^\infty \text{は実際には有限個の数の和である．} \right)$
さて，
\[ A(0)=(0,\ 0,\ 0,\ \cdots),\quad A(1)=(1,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
であるとし，さらに$s=2,\ 3,\ \cdots$に対して長さ$s$の数列
\[ A(s)=(a(s)_1,\ a(s)_2,\ \cdots,\ a(s)_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
が定まっていて$a(s)_n>0 (n=1,\ 2,\ \cdots,\ s)$かつ
\[ \overline{A(s)A(t)}=1 \quad (s \neq t \text{かつ}s,\ t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．

(1)$s \geqq 1$ならば$A(s) \cdot A(s)=1$であり，また，$t>s \geqq 1$ならば$\displaystyle A(s) \cdot A(t)=\frac{1}{2}$であることを示しなさい．ただし，$A(s)=\{a_n\}$，$A(t)=\{b_n\}$とおきなさい．
(2)$A(2),\ A(3)$を求めると
$A(2)=\left( [あ],\ [い],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$，
$A(3)=\left( [う],\ [え],\ [お],\ 0,\ 0,\ \cdots \right)$
である．
(3)$t>s \geqq 2$ならば数列$A(t)$と数列$A(s)$の初めの$s-1$項はすべて一致することを示しなさい．ただし，数列$A(s)$の初めの$s$項を$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_s$，数列$A(t)$の初めの$t$項を$b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_t$とおき，また，$s$と$t$以外のすべての$i \geqq 1$について数列$A(i)$の初めの$i$項を$c(i)_1,\ c(i)_2,\ \cdots,\ c(i)_i$とおきなさい．
(4)$t=1,\ 2,\ \cdots$に対して長さ$t$の数列$B(t)$を
\[ B(t)=\frac{1}{t+1} \left\{ A(1)+A(2)+\cdots +A(t) \right\}=\frac{1}{t+1} \sum_{i=1}^t A(i) \]
により定めると，$s=1,\ 2,\ \cdots,\ t$に対して$A(s) \cdot B(t)=[か]$である．
(5)$(3)$で示されたことから，$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$が定まって，すべての$s \geqq 2$に対して$A(s)$は
\[ A(s)=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{s-1},\ y_s,\ 0,\ 0,\ \cdots) \]
と表される．$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}$を$s$の式で表すと$\displaystyle \frac{y_s}{x_s}=[き]$である．また，$x_s$を$s$の式で表すと$x_s=[く]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(0,\ 2)$を通る$2$円
\[ C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=2,\quad C_2:(x-2)^2+(y-1)^2=5 \]
が与えられている．原点$\mathrm{O}$を通る直線$L$と$C_1$，$C_2$との交点（$\neq \mathrm{O}$）をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D} \neq \mathrm{E}$のとき，線分$\mathrm{DE}$の内点$\mathrm{P}$を$\mathrm{DP}:\mathrm{PE}=3:1$となるようにとる．$\mathrm{D}=\mathrm{E}$のとき，$\mathrm{P}=\mathrm{D}$とする．直線$L$を原点を中心に回転させると，点$\mathrm{P}$は
\[ \left( \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]},\ [$17$][$18$] \right) \]
を中心とする円周上にある．
(2)$\displaystyle \frac{\pi}{12}$における$\sin,\ \cos$の値は
\[ \begin{array}{l}
\displaystyle\sin \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}-\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \\
\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{[$19$][$20$]}+\sqrt{[$21$][$22$]}}{4} \phantom{\displaystyle\frac{\frac{[　]^2}{2}}{2}}
\end{array} \]
である．これを用いて，$0<x<\pi$の範囲で方程式
\[ \frac{\sqrt{3}+1}{\cos x}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sin x}-4 \sqrt{2}=0 \]
を解けば
\[ x=\frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}\pi \]
を得る．

銀行口座（以降，口座）から$\mathrm{IC}$カードに金額を移転し，そのカードを用いて支払いをおこなうものとする．口座からカードに移転した金額を超過してさらに支払う必要が生じた場合，その分は銀行が自動的に立て替えて払うものとする．

このとき，口座からカードに金額を移転することに伴う利子収入の減少分，および銀行からの借入れに伴う利払い，そして口座からカードへの移転に伴う手数料，それらの合計$Z$を最小にする問題を考える．適当な仮定のもと，$Z$は独立変数$x,\ y$の関数として，つぎのように表わされる．
\[ Z=\frac{xy^2}{40A}+\frac{A^2-2xyA+x^2y^2}{30xA}+6x \]
ただし$(x,\ y)$は座標平面の第$1$象限の点であり，$A$は定数である．

(1)$x$を固定し，$Z$を$y$の関数と考えれば，その最小値は
\[ y=\frac{[$35$][$36$]}{[$37$][$38$]} \frac{A}{x} \]
のときである．
(2)$Z$に$(1)$の結果を代入し，$Z$を$x$のみの関数とみれば
\[ x=\sqrt{\frac{[$39$][$40$][$41$]}{[$42$][$43$][$44$]}A} \]
のとき$Z$は最小になる．
(3)以上から$Z$の最小値は
\[ \sqrt{\frac{[$45$][$46$][$47$]}{[$48$][$49$][$50$]}A} \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$2$つの自然数$p,\ q$が$p^2+pq+q^2=19$を満たすとき，$p+q=[ア]$である．
(2)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，$\sin^2 \theta+\cos \theta-1$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)$\displaystyle S=\frac{1}{1+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\frac{1}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{45}+\sqrt{49}}$とすると，$S$の値は$[エ]$である．
(4)方程式$\log_{\sqrt{2}}(2-x)+\log_2 (x+1)=1$の解をすべて求めると，$x=[オ]$である．
(5)等式$\displaystyle f(x)=x^2+3 \int_0^1 f(t) \, dt$を満たす関数は，$f(x)=[カ]$である．
(6)座標空間における$4$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$，$\mathrm{D}(x,\ 4,\ 5)$が同一平面上にあるとき，$x=[キ]$である．
(7)$3$次方程式$x^3-x^2+ax+b=0$の解の$1$つが$1+i$のとき，$a=[ク]$，$b=[ケ]$である．ただし，$a,\ b$は実数とし，$i$は虚数単位とする．
(8)三角形$\mathrm{ABC}$の辺の長さが$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=6$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[コ]$である．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle \int_2^4 (x^2+ax+2) \, dx=\frac{14}{3}$を満たす$a$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，$\cos \theta+\sqrt{3} \sin \theta$の最大値は$[イ]$であり，最小値は$[ウ]$である．
(3)実数$x$が$0<x<1$かつ${(\log_2 x)}^2+\log_2 x-6=0$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(4)$3$次方程式$(x-1)(x^2+ax+a+2)=0$が$2$重解をもつとき，$a$の値をすべて求めると，$[オ]$である．
(5)実数$a,\ b$を用いて$\displaystyle \frac{1}{2+i}+\frac{1}{3+4i}=a+bi$と表すとき，$a=[カ]$であり，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$3$つのさいころを同時に投げるとき，ちょうど$2$つのさいころが同じ目になる確率は$[ク]$である．
(7)ベクトル$(2,\ a,\ b)$が$2$つのベクトル$(1,\ -1,\ 3)$，$(-2,\ 1,\ 1)$に垂直であるとき，$(a,\ b)=[ケ]$である．
(8)底辺の長さが$a$，高さが$b$の三角形が$2a+b=6$を満たすとき，三角形の面積の最大値は$[コ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$y=4x^3-12x+1 (-1 \leqq x \leqq \sqrt{3})$のグラフを$G$とする．$k$を実数とし，直線$\ell:y=-3x+k$を考える．$\ell$と$G$が異なる$2$つの共有点をもつための必要十分条件は，
\[ k=[ア]+[イ] \sqrt{[ウ]} \]
または
\[ [エ]+[オ] \sqrt{[カ]}<k<[キ] \]
である．
(2)不等式$9^{\log_3 x}-3 \cdot 2^{(\log_2 x+2)}+3^3>0$の解は，$[ク]<x<[ケ]$または$[コ]<x$である．
(3)下図のような道がある．

(i) $\mathrm{C}$を経由して，$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[サ]$通りである．
(ii) $\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$まで最短距離で行く道順は$[シ]$通りである．

（図は省略）