$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

（イ） $a_1=\sqrt{2}+1$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
-\sqrt{2}a_n-1 & (a_n<10 \text{のとき}) \\
(\sqrt{2}-1)a_n+6 & (a_n>10 \text{のとき}) \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 5$のとき，$a_n>10$であることを示せ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．

長方形$\mathrm{ABCD}$の対角線$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}$をとり，
\[ \mathrm{AB}=\sqrt{3},\quad \angle \mathrm{APB}=\alpha,\quad \angle \mathrm{CPD}=\beta,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
とする．ただし，$\mathrm{P}$は$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$以外の点である．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{AP}$の長さを$\alpha,\ \theta$を用いて表し，$\mathrm{PC}$の長さを$\beta,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}+\frac{\cos \beta}{\sin \beta}$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \mathrm{BC}=2+\sqrt{7},\ \beta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\alpha$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$を求めよ．
(2)$f^\prime(0)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1+\left( f^\prime(x) \right)^2} \, dx$を求めよ．

すべての実数$x$において，関数$f(x)$は微分可能で，その導関数$f^\prime(x)$は連続とする．$f(x)$，$f^\prime(x)$が等式
\[ \int_0^x \sqrt{1+\left( f^\prime(t) \right)^2} \, dt=-e^{-x}+f(x) \]
を満たすとき，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$x=1$，および$x$軸，$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{100}$の値を求めよ．
(2)$a_n=6$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)正の整数$k$に対して，$a_n=2k$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

$a$を定数とする．$x>0$における関数
\[ f(x)=\log x+ax^2-3x \]
について，曲線$y=f(x)$は$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}}$で変曲点をもつとする．

(1)$a$を求めよ．
(2)$k$を定数とするとき，方程式$f(x)=k$の異なる実数解の個数を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および$2$直線$x=1$，$x=2$で囲まれた部分を，$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．