$a,\ b,\ c,\ d$を正の実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{ab} \leqq \frac{a+b}{2}$を示せ．
(2)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{abcd} \leqq \frac{a+b+c+d}{4}$を示せ．
(3)不等式$\displaystyle \sqrt[4]{ab^3} \leqq \frac{a+3b}{4}$を示せ．

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

次の各問に答えよ．

(1)次の各命題について，真であれば証明し，偽であれば反例を1つあげよ．

\mon[(A)] 実数$a$について，$\sqrt{a^2}$と$a$は等しい．
\mon[(B)] 正の実数$b$と$c$について，$\sqrt[3]{b+c}$と$\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}$は等しくない．
\mon[(C)] 実数$x$について，$|2x-1|=x$ならば$x=1$である．

(2)$\alpha=(\sqrt{3}+1)^x,\ \beta=(\sqrt{3}-1)^x$とするとき，$\alpha\beta=7$となるような$x$の値を求めよ．

自然数$n$について，$a_n$を$\sqrt{n}$以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)自然数$m$について，$S=a_1+a_2+\cdots +a_{m^2}$を，$m$を用いて表せ．

次の各問に答えよ．ただし，$\log x$は$x$の自然対数を表す．

(1)次の関数を微分せよ．

(2)$y=e^{\sqrt{x}}$
(3)$\displaystyle y=\frac{\log |\cos x|}{x}$

(4)次の定積分の値を求めよ．

(5)$\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} x \tan (x^2) \, dx$
(6)$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{3}} xe^{3x} \, dx$
(7)$\displaystyle \int_e^{e^e} \frac{1}{x \log x} \, dx$
(8)$\displaystyle \int_2^3 \frac{x^2+1}{x(x+1)} \, dx$

自然数$n$について，$a_n$を$\sqrt{n}$以下の整数のうち最大のものとするとき，次の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4$の値を求めよ．
(2)自然数$m$について，$S=a_1+a_2+\cdots +a_{m^2}$を，$m$を用いて表せ．

媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする．ただし，$t$は実数全体を動くとする．また，実数$a \ (a \neq 0)$に対して，点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\ell_a$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる．
(3)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(4)曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$(\sqrt{2}+1)^x+(\sqrt{2}-1)^x=6$について，(A)，(B)に答えよ．

\mon[(A)] $(\sqrt{2}+1)^x=\alpha,\ (\sqrt{2}-1)^x=\beta$とするとき，$\alpha\beta$の値を求めよ．
\mon[(B)] 方程式の解のうち最大のものを$m$とするとき，$m$の値を求めよ．

(2)$t>4$を満たすすべての$t$について，不等式
\[ (\log_2 t)^2-b \log_2 t+2>0 \]
が成り立つ$b$の範囲を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$0<a<1$とする．次の不等式を解け．
\[ \log_a(2x-1)+\log_a(x-1) \leqq 0 \]
(2)$(2x-y+z)^8$の展開式における$x^2y^3z^3$の係数を求めよ．
(3)三角形の$3$辺の長さ$a,\ b,\ c$の比が$a:b:c=7:6:5$であり，面積が$12\sqrt{6}$のとき，$a$の値を求めよ．
(4)$m$と$n$を正の整数とする．$n$を$m$で割ると$7$余り，$n+13$は$m$で割り切れるとき，$m$の値をすべて求めよ．