次の式を計算せよ．
\[ (\sqrt{2}-1)^7 \]

四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており，$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である．

(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと，$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる．さらに，$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である．
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である．したがって，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である．

実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表すものとする．

(1)数列$\displaystyle a_1=\frac{1}{[\sqrt{1}]},\ a_2=\frac{2}{[\sqrt{2}]},\ a_3=\frac{3}{[\sqrt{3}]},\ \cdots,\ a_n=\frac{n}{[\sqrt{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$99$までの数$n$のうち$a_n$が整数になるものは$[$70$][$71$]$個である．また，$a_n=10$と最初になるのは$n=[$72$][$73$]$のときである．さらに，$\displaystyle S_n=\sum_{i=1}^n a_i$としたとき，$S_{99}=[$74$][$75$][$76$]$である．
(2)数列$\displaystyle b_1=\frac{1}{[\sqrt[3]{1}]},\ b_2=\frac{2}{[\sqrt[3]{2}]},\ b_3=\frac{3}{[\sqrt[3]{3}]},\ \cdots,\ b_n=\frac{n}{[\sqrt[3]{n}]},\ \cdots$としたとき，$1$から$124$までの数$n$のうち$b_n$が整数になるものは$[$77$][$78$]$個である．また，$b_n=10$と最初になるのは$n=[$79$][$80$]$のときである．さらに，$\displaystyle T_n=\sum_{i=1}^n b_i$としたとき，$T_{124}=\kakkofour{$81$}{$82$}{$83$}{$84$}$である．

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{5}$のとき

$\displaystyle \tan \alpha+\tan 2\alpha=\sqrt{[$35$][$36$]+[$37$][$38$] \sqrt{[$39$][$40$]}}$

$\displaystyle \tan \alpha \tan 2\alpha=\sqrt{[$41$][$42$]}$

となる．

不等式$\sqrt{ax+b}>x-2 (a \neq 0)$を満たす$x$の範囲が，$3<x<6$となるとき，$|a+b|$の値を求めよ．

円$C:(x-3)^2+(y+2)^2=2$と直線$\ell:y=2x-7$について考える．円$C$と直線$\ell$は，異なる$2$つの点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．線分$\mathrm{AB}$の長さを$m$とするとき，$\sqrt{5}m$の値を求めよ．

定積分$\displaystyle \frac{16}{\pi} \int_0^1 x^2 \sqrt{1-x^2} \, dx$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)図のように大中小の円と直線が互いに接している．小円の半径は$4$寸，中円の半径は$9$寸であった．このとき，大円の半径は$[$55$][$56$]$寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
（図は省略）
(2)\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のように半径$4$寸の扇形$\mathrm{AOB}$と半径$1$寸の扇形$\mathrm{COD}$が重なっている．今$\displaystyle \cos \angle \mathrm{AOB}=\frac{5}{8}$とすると，弧$\koa{$\mathrm{AB}$}$と直線$\mathrm{AD}$，$\mathrm{BC}$に接する円の半径は
\[ \frac{[$57$][$58$]}{[$59$][$60$]} \left( [$61$][$62$]-\sqrt{[$63$][$64$]} \right) \]
寸である．（注意：図は原寸どおりではない．）
\end{mawarikomi}

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{6}{\sqrt{a_n}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める．$\displaystyle f(x)=\frac{x}{2}+\frac{6}{\sqrt{x}} (x>0)$として，次の問いに答えよ．

(1)閉区間$4 \leqq x \leqq 9$において，$f(x)$の最大値と最小値，導関数$f^\prime(x)$の最大値と最小値をそれぞれ求めよ．
(2)$4<a_n<9$を数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$c=f(c)$を満たす正の実数$c$を求めよ．
(4)上の$(3)$で決定した$c$に対して，$\displaystyle 0<c-a_{n+1}<\frac{c-a_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(5)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．

$r$を$r>1$である定数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$は，原点$\mathrm{O}$を除く円$C:(x-r)^2+y^2=r^2$上を動くとする．点$\mathrm{P}$に対して点$\mathrm{Q}(p,\ q)$は，$\mathrm{OP} \times \mathrm{OQ}=1$を満たし，$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は一直線上にあり，$p>0$であるとする．また点$\mathrm{Q}$に対して，点$\mathrm{R}(p,\ -q)$を考える．このとき次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q$をそれぞれ$a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を$r$を用いて表せ．
(3)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$を$a,\ r$を用いて表せ．
(4)$r$が$\displaystyle r^2>\frac{1}{4}(2+\sqrt{5})$を満たすとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の距離$d$の最小値とそのときの$a$の値を$r$を用いて表せ．