次の$[　]$にあてはまる最も適当な数を記入しなさい．

円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，
\qquad $\mathrm{AB}=7 \sqrt{2},\quad \mathrm{BC}=8,\quad \mathrm{CD}=\sqrt{2},\quad \angle \mathrm{ABC}=45^\circ$

とする．このとき，対角線$\mathrm{AC}$の長さは$\mathrm{AC}=[タ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$が内接している円の半径$R$は$R=[チ]$である．また，辺$\mathrm{AD}$の長さは$\mathrm{AD}=[ツ]$なので，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は$S=[テ]$である．さらに，対角線$\mathrm{BD}$の長さは$\mathrm{BD}=[ト]$である．

つぎの連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x^2+y^2-1 \leqq 0,\quad 5x+5y+1 \geqq 0 \]
つぎの問いに答えなさい．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，この領域$D$内を動くとき，$x+\sqrt{3}y$の最大値および最小値を求めなさい．

$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で関数
\[ f(x)=x+1-\cos x+\sqrt{3} \sin x \]
を考える．

(1)$f(x)$の極値を求め，$y=f(x)$のグラフを描きなさい．
(2)曲線$y=f(x)$，$x$軸，直線$x=2\pi$で囲まれた部分の面積を求めなさい．

関係式
\[ a_1=0,\quad \frac{1}{1-a_{n+1}}-\frac{1}{1-a_n}=2n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定まる数列$\{a_n\}$に対して，次の問に答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して
\[ b_k=\sqrt{\frac{k+1}{k}} (1-\sqrt{a_{k+1}}) \]
とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle \sum_{k=1}^n b_k<\sqrt{2}-1$が成り立つことを示せ．

$2$次関数のグラフ$C_1:y=2x^2+2x$について，以下の問に答えよ．

(1)$C_2:y=2x^2-10x+17$のグラフは$C_1$を$x$軸の正の方向に$[ア]$，$y$軸の正の方向に$[イ]$だけ平行移動したものである．
(2)$C_3$のグラフは$C_1$を平行移動したものである．$C_3$の頂点$\mathrm{A}$は，単位円の上にある．$C_1$の頂点と$\mathrm{A}$の距離が最小になるとき，
$C_3:y=[ウ]x^2+[エ] \sqrt{[オ]}x+\frac{[カ]-\sqrt{[キ]}}{[ク]}$である．

以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \pi \leqq \theta<2\pi,\ \cos \theta=\frac{3}{5}$のとき$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[ケコサ]}{[シス]}$，$\displaystyle \cos 2\theta=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である．
(2)$\displaystyle \cos 15^\circ \cos 45^\circ \cos 75^\circ=\frac{\sqrt{[ツ]}}{[テ]}$である．
(3)$\sin 20^\circ+\sin 40^\circ-\cos 10^\circ=[ト]$である．

一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．

原点を$\mathrm{O}$とし，下図のように$3$つの円$C_1$，$C_2$，$C_3$が互いに接している．$C_2$の中心を$\mathrm{O}_2$，$C_1$と$C_2$の接点を$\mathrm{P}$，$C_2$と$C_3$の接点を$\mathrm{Q}$，$C_3$と$C_1$の接点を$\mathrm{R}$とする．$C_1$と$C_2$の方程式が
\[ C_1:x^2+y^2=\left( \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right)^2,\quad C_2:x^2+(y-\sqrt{3})^2=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2} \right)^2 \]
であるとき，以下の問に答えよ．
（図は省略）

(1)$\displaystyle C_3:(x-[シ])^2+y^2=\left( \frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]} \right)^2$である．
(2)弧$\mathrm{RP}$は円$C_1$の短い方の弧を指すものとし，他の弧についても同様とする．また扇形$\mathrm{RPO}$とは弧$\mathrm{RP}$を含む扇形とする．このとき，扇形$\mathrm{PQO}_2$の面積は
\[ \frac{[タ]+\sqrt{[チ]}}{[ツテ]}\pi \]
であることより，$3$つの弧$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RP}$で囲まれる図形（図の斜線部）の面積は
\[ \frac{\sqrt{[ト]}}{[ナ]}-\frac{[ニ]-[ヌ] \sqrt{[ネ]}}{[ノ]} \pi \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$に対し，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad s \geqq 0,\quad t \geqq 0 \]
とする．また，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$S$とする．

(i) $1 \leqq s+t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[ア]$倍である．
(ii) $1 \leqq s+2t \leqq 3$のとき，点$\mathrm{P}$の存在しうる領域の面積は$S$の$[イ]$倍である．

(2)$(\sqrt{2})^n$は$n$が奇数のとき無理数である．より一般に，$2$以上の整数$k$に対し，$(\sqrt[k]{2})^n$は$n$が$k$の倍数でないとき無理数である．したがって，$2$以上の整数$k$に対し，
\[ \left( \sqrt{2}x+\sqrt[k]{2} \right)^{100} \]
を展開して得られる$x$の多項式において，

(i) $x^{100}$の係数は$2$の$[ウ]$乗，
(ii) $n=0,\ 1,\ \cdots,\ 100$に対し，$x^n$の係数が整数となるような$n$の個数は

$k=2$のとき$[エ]$個
$k=3$のとき$[オ]$個
$k=5$のとき$[カ]$個
$k=7$のとき$[キ]$個
$k=51$のとき$[ク]$個

である．

次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．

(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．