数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める．


$a_1=2,\quad b_1=1$

$\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=2a_n+3b_n \\
b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$



(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について，


$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$

$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$


が成り立つことを示せ．

(2)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ．

(3)数列$\{e_n\}$を
\[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき，$n \geqq 3$ならば
\[ |e_n|<0.001 \]
であることを示せ．ただし，$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と，$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする．


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$，$\theta$を用いて表しなさい．

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる．$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい．

$\triangle \mathrm{ABC}$が，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=1+\sqrt{3}$，$\angle \mathrm{ACB}={45}^\circ$をみたすとする．

(1)$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とおくとき，$\sin \beta$および$\cos 2\beta$の値を求めよ．
(2)$(1)$の$\beta$の値をすべて求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．
(3)$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

複素数$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\omega^2+\omega^4$，$\omega^5+\omega^{10}$の値を求めよ．
(2)$n$を正の整数とするとき，$\omega^n+\omega^{2n}$の値を求めよ．
(3)$n$を正の整数とするとき，
\[ (\omega+2)^n+(\omega^2+2)^n \]
が整数であることを証明せよ．

$a,\ b$を実数とする．$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし，$x$についての方程式$f(x)=b$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$a>0$のとき，関数$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

複素数平面上を，点$\mathrm{P}$が次のように移動する．

(i) 時刻$0$では，$\mathrm{P}$は原点にいる．時刻$1$まで，$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると，$z_1=1$である．
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると，$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である．
(iii) 以下同様に，時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする．ただし$n$は自然数である．

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として，次の問いに答えよ．

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく．$w$を求めよ．
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ．

$k$を正の整数とし，$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる．ここで，$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で，$a_k \neq 0$とする．

(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば，次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ．
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し，$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す．$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ．