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東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2016年 第1問
数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下で定める.


$a_1=2,\quad b_1=1$

$\left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=2a_n+3b_n \\
b_{n+1}=a_n+2b_n
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$



(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$について,


$a_n+\sqrt{3}b_n={(2+\sqrt{3})}^n$

$a_n-\sqrt{3}b_n={(2-\sqrt{3})}^n$


が成り立つことを示せ.

(2)$\displaystyle \frac{b_n}{a_n}$を$n$を用いて表せ.

(3)数列$\{e_n\}$を
\[ e_n=\frac{\sqrt{3} \, b_n}{a_n}-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定めるとき,$n \geqq 3$ならば
\[ |e_n|<0.001 \]
であることを示せ.ただし,$\displaystyle 0.071<\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}<0.072$を用いてもよい.
東京海洋大学 国立 東京海洋大学 2016年 第5問
$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$(ただし,$x>0$)に対し,座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える.

(1)$f(x)$の極値を求めよ.
(2)曲線$C$,$2$直線$x=t$,$x=t+1$(ただし,$t>0$)および$x$軸で囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ.
(3)$V$の最大値を求めよ.
大分大学 国立 大分大学 2016年 第1問
大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{a}$と,$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とする.


(1)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$が最小となるような実数$t$の値を$|\!\overrightarrow{b}\!|$,$\theta$を用いて表しなさい.

(2)$|\, 3 \overrightarrow{a|+t \overrightarrow{b}}$は$\displaystyle t=-\frac{1}{2}$のとき最小値$2 \sqrt{2}$をとる.$|\!\overrightarrow{b}\!|$および$\cos \theta$の値を求めなさい.
北海道大学 国立 北海道大学 2016年 第3問
$\triangle \mathrm{ABC}$が,$\mathrm{AB}=2$,$\mathrm{AC}=1+\sqrt{3}$,$\angle \mathrm{ACB}={45}^\circ$をみたすとする.

(1)$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とおくとき,$\sin \beta$および$\cos 2\beta$の値を求めよ.
(2)$(1)$の$\beta$の値をすべて求めよ.
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の中心を$\mathrm{O}$とする.$\triangle \mathrm{ABC}$が鋭角三角形であるとき,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす実数$s,\ t$を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)$a$を正の定数とする.関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ.
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ.
(3)$c$を正の定数とする.$x$軸,$y$軸,直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第1問
$a$を正の定数とし,座標平面上において,
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える.$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している.次の問いに答えよ.

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ.
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする.$C_2$,$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ.
岡山大学 国立 岡山大学 2016年 第1問
複素数$\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$について,以下の問いに答えよ.

(1)$\omega^2+\omega^4$,$\omega^5+\omega^{10}$の値を求めよ.
(2)$n$を正の整数とするとき,$\omega^n+\omega^{2n}$の値を求めよ.
(3)$n$を正の整数とするとき,
\[ (\omega+2)^n+(\omega^2+2)^n \]
が整数であることを証明せよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2016年 第4問
$a,\ b$を実数とする.$f(x)=2 \sqrt{1+x^2}-ax^2$とし,$x$についての方程式$f(x)=b$を考える.次の問いに答えよ.

(1)$a>0$のとき,関数$f(x)$の最大値を求めよ.
(2)方程式$f(x)=b$の異なる実数解の個数が最も多くなるときの点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ.
広島大学 国立 広島大学 2016年 第3問
複素数平面上を,点$\mathrm{P}$が次のように移動する.

(i) 時刻$0$では,$\mathrm{P}$は原点にいる.時刻$1$まで,$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると,$z_1=1$である.
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると,$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である.
(iii) 以下同様に,時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し,時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する.移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする.ただし$n$は自然数である.

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として,次の問いに答えよ.

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ.
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき,$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく.$w$を求めよ.
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2016年 第5問
$k$を正の整数とし,$10$進法で表された小数点以下$k$桁の実数
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k=\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{{10}^2}+\cdots +\frac{a_k}{{10}^k} \]
を$1$つとる.ここで,$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_k$は$0$から$9$までの整数で,$a_k \neq 0$とする.

(1)次の不等式をみたす正の整数$n$をすべて求めよ.
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{n}-{10}^k<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(2)$p$が$5 \cdot {10}^{k-1}$以上の整数ならば,次の不等式をみたす正の整数$m$が存在することを示せ.
\[ 0.a_1a_2 \cdots a_k \leqq \sqrt{m}-p<0.a_1a_2 \cdots a_k+{10}^{-k} \]
(3)実数$x$に対し,$r \leqq x<r+1$をみたす整数$r$を$[x]$で表す.$\sqrt{s}-[\sqrt{s}]=0.a_1 a_2 \cdots a_k$をみたす正の整数$s$は存在しないことを示せ.
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